【数学竞赛】调和点列（1）

2022-03-26 19:11 作者:Rotas-math_lover 0人读过 | 我要投稿

本篇文章你需要知道的知识有：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、线束模型

一.调和点列的定义

设 $C%E3%80%81D$ 两点分别内分和外分线段 $AB$ 成同一比例，即满足 $%5Cfrac%7BCA%7D%7BCB%7D%3D%5Cfrac%7BDA%7D%7BDB%7D$ ，则称 $C%E3%80%81D$ 调和分割线段 $AB$ ，或称 $C$ 是点 $D$ 关于 $AB$ 的调和共轭点，亦称 $A%EF%BC%8CB%E3%80%81C%EF%BC%8CD$ （注意标点符号）成调和点列

若从直线 $AB$ 外一点 $P$ 引射线 $PA%E3%80%81PB%E3%80%81PC%E3%80%81PD$ ，则称线束 $PA%E3%80%81PB%E3%80%81PC%E3%80%81PD$ 为调和线束

二.调和点列的性质（1-2）

性质1

如图， $A%E3%80%81C%E3%80%81B%E3%80%81D$ 是共线的四点， $M$ 为线段 $AB$ 的中点，则 $C%E3%80%81D$ 调和分割线段 $AB$ 的充要条件是满足下面六个条件之一

（1） $A%E3%80%81B$ 调和分割线段 $CD$

（2） $%5Cfrac%7B2%7D%7BAB%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BAC%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7BAD%7D$

（3） $AB%C2%B7CD%3D2AC%C2%B7BD%3D2AD%C2%B7BC$

（4） $CA%C2%B7CB%3DCM%C2%B7CD$

（5） $DA%C2%B7DB%3DDM%C2%B7DC$

（6） $MA%5E2%3DMB%5E2%3DMC%C2%B7MD$

这个性质的证明比较简单，这里就不再赘述（具体可以去查几何分册）

下面就讲一下这几个等式的理解

对于（1），只需要理解为调和分割是相互的就行了（实质上是运用了更比性质）
观察（2）发现， $AB$ 是被 $C%E3%80%81D$ 调和分割的线段， $AC%E3%80%81AD$ 分别是从 $A$ 引出的两条到 $C%E3%80%81D$ 的线段，三条线段都有方向（因此需要定义任意一个方向为正方向），因此还可以得到以下几个等式成立（注：由（2）变形为 $AB%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7BAC%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7BAD%7D%7D$ ，因此 $AB$ 可以看成是 $AC$ 和 $AD$ 的调和平均数）

$%5Cfrac%7B2%7D%7BBA%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BBC%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7BBD%7D$
$%5Cfrac%7B2%7D%7BCD%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7BCA%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7BCB%7D$
$%5Cfrac%7B2%7D%7BDC%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BDA%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7BDB%7D$

观察（3）可知 $AB$ 和 $CD$ 是两条被分割的线段，接下来的 $AC$ 和 $BD%E3%80%81AD$ 和 $BC$ ，是将 $A$ 与 $C%E3%80%81D$ ， $B$ 与 $C%E3%80%81D$ 进行组合
对于（4）、（5），都是 $C$ 或 $D$ 引出的线段的关系
5. 对于（6），则是 $M$ 引出的线段之间的关系

性质2

设 $AB$ 是共线的四点，过共线直线外一点 $P$ ，引射线 $PA%E3%80%81PB%E3%80%81PC%E3%80%81PD$ ，则 $C%E3%80%81D$ 调和分割线段 $AB$ 的充要条件是满足以下两个条件之一

线束 $PA%E3%80%81PB%E3%80%81PC%E3%80%81PD$ 其中一射线的任一平行线被其他三条射线截出相等的两线段
另一直线 $l$ 交 $PA%E3%80%81PB%E3%80%81PC%E3%80%81PD$ 与 $A'%E3%80%81B'%E3%80%81C'%E3%80%81D'$ 时， $C'%E3%80%81D'$ 调和分割线段 $A'B'$