【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep36】第一次结束习题……

我们今天来讲一下后几题，这几题与数项级数关系比较密切，严格地说，结论要当作必备知识牢记住，不然到后面学级数就懵逼了；

另外，这几道习题是环环相扣的，上一题的结论可能就是下一题的条件，也都是常见数列极限，要滚瓜烂熟——

6.对实数的指数函数式的数列——

其中an=q^n，|q|<1，我们要求证an的极限是0——

1. 照例先回溯定义——要求证an的极限是0，即求证，对于任意小数r>0，都存在一个N，使得n>N的时候，|an-0|=|an|=|q^n|=|q|^n<r；

2. 又|q|<1，所以ln |q|<0；

3. 由1、2得到不等式 n ln |q|<ln r，则n>N>（ln r）/（ ln |q|）时可使1中不等式成立，取N=E（（ln r）/（ ln |q|））+1，则可使1中不等式成立；

4. 即an的极限是0。

6.5书中由此引出了另一个无穷小——

求证bn=A *an是无穷小，其中an=q^n，|q|<1，A为常数——

1. 照例先回溯定义——要求证bn的极限是0，即求证，对于任意小数r>0，都存在一个N，使得n>N的时候，|bn-0|=|bn|=|Aq^n|=|A||q|^n<r；

2. 又|q|<1，所以ln |q|<0；

3. 由1、2得到不等式 n ln |q|+ln |A|<ln r，则n>N>（ln r-ln |A|）/（ ln |q|）时可使1中不等式成立，取N=E（（ln r-ln |A|）/（ ln |q|））+1，则可使1中不等式成立；

4. 即bn的极限是0。

7这就是最最经典的一种数项级数了，级数部分会翻来覆去地聊这个，不过在学会极限的运算律之前，这题的证法是很有启发性的——

对数列an=a*q^n，|q|<1，我们求各项和得到一个关于和的数列，S1=a1，……Sn=a1+a2+……an，求数列Sn的极限——

1. Sn=a1+a2+……an=a+aq+……a*q^（n-1）=a[（1-q^n）/（1-q）]=a/（1-q）-[a/（1-q）]q^n；

2. 我们由6.5的结论已知[a/（1-q）]q^n是一个无穷小量；

3. 数列极限的无穷小定义，我们知道，Sn与常数a/（1-q）之间相差一个无穷小量[a/（1-q）]q^n，即Sn的极限为a/（1-q）。

8这道题就是一个迭代数列的典型题，史济怀老师的《数学分析教程》的习题1.3最后一题与这道题类似，方法大同小异——

已知x0=a，x1=b，而后的数列xn满足：xn=（xn-1+xn-2）/2，求数列通项——

技巧——

1. 借助恒等变换，两边同时减去xn-1得到xn-xn-1=-（xn-1-xn-2）/2；

2. 这样我们就成功构造了一个新的等比数列——an=xn-xn-1，公比为-（1/2），首项为b-a；

3. 由此得到an的通项an=（b-a）（-1/2）^（n-1），该通项公式对a1也适用；

4. Sn=a1+a2+……an=（x1-x0）+（x2-x1）+……（xn-xn-1）=xn-x0=（b-a）[1-（-1/2）^n]/（3/2）=（2/3）[（b-a）-（b-a）（-1/2）^n]；

5. 由7中结论，得到Sn的极限为（2/3）（b-a）；

6. 则xn-x0=（2/3）（b-a），xn=x0+（2/3）（b-a）=a+（2/3）（b-a）=（2b+a）/3。

9介绍了无穷级数的定义并举了个例子——

就是把数列各项相加得到的式子叫做无穷级数，无穷级数能够求得有限数成为级数收敛，否则，则    。

之后到了级数那一章会有详细地介绍如何判断级数是不是收敛，是《数学分析》和《高等数学》的一个重点内容。

我们明天聊聊数列极限的性质~