关于极点极线的一对基础命题

2022-10-19 16:46 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

已知椭圆 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ （ $a%3Eb%3E0$ ）及其所在平面内一点 $P%5Cleft(%20x_0%2Cy_0%20%5Cright)%20$ （不在椭圆上，也不在椭圆中心），过 $P$ 的直线 $l_1$ 与椭圆交于 $A$ 、 $B$ 两点，与直线 $l_2$ ： $%5Cfrac%7Bx_0x%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By_0y%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ 交于点 $Q$ ，证明： $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft%7C%20PA%20%5Cright%7C%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft%7C%20PB%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cleft%7C%20PQ%20%5Cright%7C%7D$ .

设 $l_1$ 的参数方程为 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09x%3Dx_0%2Bt%5Ccos%20%20%5Calpha%20%2C%5C%5C%09y%3Dy_0%2Bt%5Csin%20%20%5Calpha%20%2C%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$

（ $t$ 为参数），

与椭圆联立得

$%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Ccos%20%5E2%5Calpha%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Csin%20%5E2%5Calpha%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%20%5Ccdot%20t%5E2%2B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B2x_0%5Ccos%20%5Calpha%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B2y_0%5Csin%20%5Calpha%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%20%5Ccdot%20t%2B%5Cfrac%7Bx_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E2%7D-1%3D0$

各项同除以 $t%5E2$ ，得

$%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E2%7D-1%20%5Cright)%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7D%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B2x_0%5Ccos%20%5Calpha%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B2y_0%5Csin%20%5Calpha%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7D%2B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Ccos%20%5E2%5Calpha%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Csin%20%5E2%5Calpha%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%20%3D0$

依韦达定理可得

$%5Cfrac%7B1%7D%7Bt_1%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bt_2%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx_0%5Ccos%20%5Calpha%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By_0%5Csin%20%5Calpha%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%7D%7B1-%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E2%7D%5Cright)%7D$ .

联立 $l_1$ 与 $l_2$ ，解得

$%5Cfrac%7B1%7D%7Bt_0%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bx_0%5Ccos%20%20%5Calpha%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By_0%5Csin%20%20%5Calpha%7D%7Bb%5E2%7D%7D%7B1-%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%7D$ .

所以

$%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft%7C%20PA%20%5Cright%7C%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft%7C%20PB%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bt_1%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bt_2%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7Bt_0%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cleft%7C%20PQ%20%5Cright%7C%7D$

已知椭圆 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ （ $a%3Eb%3E0$ ）及其所在平面内一点 $P%5Cleft(%20x_0%2Cy_0%20%5Cright)%20$ （不在椭圆上，也不在椭圆中心），过 $P$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $Q$ 满足： $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft%7C%20PA%20%5Cright%7C%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft%7C%20PB%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cleft%7C%20PQ%20%5Cright%7C%7D$ ，求 $Q$ 的轨迹方程.

设 $l$ 的参数方程为 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09x%3Dx_0%2Bt%5Ccos%20%20%5Calpha%20%2C%5C%5C%09y%3Dy_0%2Bt%5Csin%20%20%5Calpha%20%2C%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$

（ $t$ 为参数），

与椭圆联立得

各项同除以 $t%5E2$ ，得

依韦达定理可得

所以

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Cfrac%7B2%7D%7Bt_Q%7D%26%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cleft%7C%20PQ%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft%7C%20PA%20%5Cright%7C%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft%7C%20PB%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bt_1%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bt_2%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B2%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx_0%5Ccos%20%5Calpha%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By_0%5Csin%20%5Calpha%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%7D%7B1-%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

所以

$t_Q%3D%5Cfrac%7B1-%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%7D%7B%5Cfrac%7Bx_0%5Ccos%20%5Calpha%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By_0%5Csin%20%5Calpha%7D%7Bb%5E2%7D%7D$ .

所以

$%5Cbegin%7Bcases%7D%09x_Q%3Dx_0%2B%5Cfrac%7B1-%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%7D%7B%5Cfrac%7Bx_0%5Ccos%20%5Calpha%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By_0%5Csin%20%5Calpha%7D%7Bb%5E2%7D%7D%5Ccdot%20%5Ccos%20%20%5Calpha%20%2C%5C%5C%09y_Q%3Dy_0%2B%5Cfrac%7B1-%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%7D%7B%5Cfrac%7Bx_0%5Ccos%20%5Calpha%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By_0%5Csin%20%5Calpha%7D%7Bb%5E2%7D%7D%5Ccdot%20%5Csin%20%20%5Calpha%20%2C%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$

消去 $%5Calpha$ 可得： $%5Cfrac%7Bx_0x_Q%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By_0y_Q%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ .

所以点 $Q$ 的轨迹方程为直线：

$%5Cfrac%7Bx_0x%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By_0y%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ .

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