简单讲一下上次给汇子的问题应该怎么解决

        从12月26日到我写这篇专栏已经过了七天，可怜又无助的汇子还是没能给出他的答案，也没能成功看到我的代码。

        这位互联网造谣界宗师级别的人物，多次在视频中声称它自己和它的研究生同学算过，“直上直下差不多72小时能到月球”“直线是最快的，现实中时间不可能比这个更短”

        然而面对几乎一模一样的问题，我只是帮他换了几个数字，这位“MIT的高端人才”就不会算了，只能顾左右而言他扯开话题然后假装什么都没发生。现在可以确定汇子在网上说过的为数不多的一句真话大概就是

即便如此，汇子养的猴儿们还是忠贞不渝地守护着自己的主子，期待着主子把下一条谣言塞进他们那小巧玲珑的脑壳里，如此罕见地主仆之情简直令人感动到落泪。

下面讲点有用的东西，这个问题到底应该如何计算？

这里给出两种方法，供参考

一、最简单最无脑、计算量大且精度不高的方法

把整个运动过程划分成一个个小微元，每隔一个微小的时间进行一组计算。

比如，将速度变化过程视为匀变速过程，每隔一秒，计算在这一秒内的速度增量，进而得到这一秒内前进的路程，将路程增量累加起来直到达到目标点位置。其实本质上这种方式就是在用一个又一个小矩形拟合一个曲边梯形。

但问题在于，实际速度变化并不是匀速的，因此这种计算方式存在误差。当然分割的时间间隔越小误差就越小，但是时间间隔越小计算量就越大，而且误差不容易控制，可以用来对结果做估计但不实用。想依靠人和计算器甚至是笔算显然是不现实的，最好是靠计算机编程。

这种计算方法名师汇在自己的视频里也介绍过，我在以前的专栏里也用过，但是很显然汇子并不具备实现这种计算方法的能力，为了恰流量骗粉丝最后只能胡编一个“72小时勉强够”的逆天结论。甚至它在视频里连轨道高度都没考虑过，直接从地球以10882m/s的速度开始飞，它都不愿意算一下（或者根本就没意识到）这个能量够不够到达地月引力的平衡点，可以说骗猴骗得及其敷衍，不过现在看来猴儿们似乎就爱吃这种口味。

好了回归正题，来看第二种方法

二、让我们仔细分析一下这个模型

因为万有引力定律的表现形式是距离的平方反比，也就是说每一个位置的受力是确定的，力在位移上积分可以得到能量的变化量，这意味着能量的变化量是位移的函数，也就是说速度的平方是位移的函数，在速度没有负值（也就是速度方向变化）的情况下，就可以说这个模型里速度是位移的函数。

现在问题就比较明确了，在已知速度与位移函数关系的情况下，如何求解时间？

用不严谨但更直观的语言解释一下这个式子，我们取一段非常非常小的位移，小到什么程度呢？小到我们可以认为在这一小段位移内速度大小是几乎不变的，用这一小段位移dx除以速度v就得到了一个很小的时间段dt，把整个过程的dt累加起来，就得到了全过程的时间T，而等式右边是一个关于位移的积分式。

现在我们已经得到了时间的计算式，问题转化成了如何求解右边这个定积分。

学过高数的朋友们第一反应肯定是找被积函数的原函数。但是并不是所有函数都能找到原函数，有些原函数用初等函数是表示不出来的。而我们面对的这个被积函数要想找到原函数并不容易。

好在这是一个定积分，我们要的只是最后的计算结果，而不是原函数的表达式。在工程上解决这类问题可以用数值积分。

常见的数值积分方法有Newton-Cotes公式和Guess求积公式，内容比较多，需要一定的高数基础，如果真的感兴趣可以去学一学数值分析的相关课程。

这里给出Newton-Cotes公式的一种实现方法。从复化梯形格式出发，通过变步长、加速外推得到Romberg序列。

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