圆锥曲线的定义是：由一个平面截二次曲面得到的曲线，实际上就是把三维降成了二维得到了圆锥曲线。而二次曲面实际上是有相当多的，实际上是由一组三元二次方程

表示的图形，前6项为二次型(但二次矩阵未必正定，因为顺序主子式不一定全正)，下面笔者将一一介绍。

1、圆柱面：

分别表示母线平行于z轴、y轴、x轴的圆柱面，这个很常见，就是我们平时所用的圆柱，上下底面是圆心，侧面展开后为长方形。我们只需要利用一个垂直于母线的平面去截圆柱面，即可得到圆。

2、椭圆柱面：

这里分别表示的是母线平行于z轴、y轴、x轴的椭圆柱面，它与圆柱面的区别就在于：上下底面由圆变成了椭圆，其余的是一样的，如此一来，只需要用一个垂直于母线的平面去截椭圆柱面，即可得到椭圆。

3、双曲柱面：

分别表示母线(两支双曲柱面的最低位置所在)平行于z轴、y轴、x轴的双曲柱面，上下底面由圆变成了双曲线，其余的是一样的。只需要用一个垂直于母线的平面去截双曲柱面，即可得到双曲线。

4、抛物柱面：

分别表示的是母线(位于抛物柱面最低位置的线)平行于z轴、y轴、x轴的抛物柱面，上下底面由圆变成了双曲线，其余的是一样的。只需要用一个垂直于母线的平面去截抛物柱面，即可得到抛物线。

5、球面：

球是对称的二次平面，所以只有一个方程。

6、椭球面：

同样是个对称的二次平面，所以只有一个方程。

7、椭圆抛物面：

分别表示开口方向平行于z轴、y轴、x轴的椭圆抛物面，由抛物线以椭圆方式绕着它与坐标轴平行的轴旋转而成，下图为绕z轴形成：

8、圆锥面：

分别表示开口方向平行于z轴、y轴、x轴的圆锥面，实则是由两条直线绕着它与坐标轴平行的轴旋转而成。

9、椭圆锥面：

分别表示开口方向平行于z轴、y轴、x轴的椭圆锥面，实则是由直线以椭圆方式绕着它与坐标轴平行的轴旋转而成，下图为绕z轴形成。

10、单叶双曲面：

分别表示开口方向平行于z轴、y轴、x轴的单叶双曲面，特点是上下均呈双曲线形状，之间有个连通口，且只有一个面，故称单叶。

11、双叶双曲面：

分别表示开口方向平行于z轴、y轴、x轴的单叶双曲面，它的特点是上下均呈双曲线形状，之间无连通口，有两个面，故称双叶。

12、双曲抛物面：

分别表示开口方向平行于z轴、y轴、x轴的双曲抛物面，它由多个不同的双曲线叠加而成，特点是呈现马鞍形。

以上就是十二个二次曲面了，实际上还有环面，但它并不属于二次曲面：

这是因为环面方程为：

这个并不是二次型，自然也就不属于二次曲线。此外，三维方程在大学数学中被广泛应用于三重积分和高等代数，这里我们只是对方程和图片作简单介绍来引出下文。话不多说，来进入高中圆锥曲线的正题。

圆锥曲线标准方程

前面我们说过了二维圆锥曲线生成方法，是由三维曲线的截面得到的。而高中圆锥曲线主要是四个，即我们前面各柱面所截的：圆、椭圆、双曲线、抛物线。

所截出来的面不再受到三维轴z轴的影响，自然不再含有z，也就是说，若二次曲线定义式为：

则降为二维之后可得到标准方程：

但是根据我们的记忆，应该是不存在xy项的呀？实际上，我们平时所见的圆锥曲线确实是这样的。如果我们留着项去画图，将会得到这样的图像：

简单来说，就是有xy项时，圆锥曲线将会产生一定角度的旋转，考试中把椭圆、双曲线、抛物线默认全部关于原坐标轴对称，也就是默认不会旋转了。