数学分享-001----------【圆锥曲线】

难度系数：★★★★☆

能上大学但是不能放生的题。

（分享纯属自己的想法，不一定最优解，如果有不对的请指出，不喜勿喷）

好的，那就先来看题干吧。

保姆级教学：

（1）

首先，看到题干里面提焦点，先求出抛物线焦点为(1,0)。焦点坐标F(p/2,0),因为抛物线是y²=4x即2p=4，∴焦点为(1,0)

然后，因为题干说椭圆C的一个焦点与抛物线的焦点一样，所以椭圆C一个焦点为(1,0)，所以我们就可以求出椭圆另一个焦点为(-1,0)，即c=1。这里我们可以求出2c即F1F2的长度为2。(椭圆是关于y轴对称的)

题干中提到S△MF1F2最大为1，我们已经知道底为2，所以高最大为1*2/2=1。

那么高的最大值刚好就是短轴长，即b=1。

根据椭圆最基本的性质，a²=b²+c²可得a=根号2

所以第一问很快就出来了，椭圆C的方程：x²/2+y²=1

（2）

像这种题，第一问就是玩，第二问才是它的精髓。

这是一道证明题，相当于让我们求出它的定点，那就联立吧。

将上一问求出来的椭圆方程和这一问提供的直线方程联立起来。

即：

可以得出：(1+2k²)x²+4kmx+2m²-2=0

这个时候，就要用求△来证明有两个交点。

△=b²-4ac=16k²m²-4(1+2k²)(2m²-2)=8(2k²-m²+1)＞0

所以直线与椭圆一定有两个交点。

设A(x1,y1),B(x2,y2)。

由韦达定理可得：x1+x2=-4km/1+2k²，x1*x2=2m²-2/1+2k²

所以我们可以得出两个斜率：k1=y1/x1-1=kx1+m/x1-1，k2=y2/x2-1=kx2+m/x2-1(将y带入题干中给出的方程y=kx+m即可消去y）

于是，我们就要用上题干中一个关键信息，x轴上任意一点到AF2和BF2的距离相等。距离相等，我们应该联想到x轴即为AF2与BF2所形成角的角平分线，所以k1=-k2即k1+k2=0。

将上式代入可得：kx1+m/x1-1+kx2+m/x2-1=0

化简出来：2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0

然后将韦达定理求出来的式子带入，得：2k*2m²-2/1+2k²+(m-k)*(-4km/1+2k²)-2m=0

到了最后一步，也是最艰难的一步：计算（要问我上课为什么没写出来，那就是因为计算算不出来。。。）

最后求出m=-2k

∴y=kx-2k=k(x-2)，当x=2时y=0。

所以直线l过定点(2,0)。

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我也不知道有没有用。。。。。。

详细解析：