【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第一章直线、角、平行线——平行线  

§1-12平行线的性质

【01】我们从习题1-11里第10题的作图的结果，可以知道平行线有下面的性质：

【02】平行公理：过已知直线外的一已知点，只能作一条直线平行于已知直线。

【03】如图1·81，过点 O 作出了直线 CD 平行于直线 AB  。那末过点 O 的任何其他的直线和直线 AB 都不平行，而和直线 AB 相交。

【04】这里请特别注意，凡是不加证明而采用的真理叫做公理。公理是命题的一种，它的结论的正确性是经过亿万次的实践证明过的，因而被大家公认为真理。它和定理不同，用不着象定理这样的证明就能确定它的结论是成立的。例如，§1-1 里的“经过两点可以画一条直线，并且只可以画一条直线”就是一条直线的公理，它的结论是不能、也不必象定理那样去证明，只能通过画图实践来验证。

【05】平行线还有下面的一些性质：

【06】平行线性质定理1：两条平行线和第三条直线相交，那末同位角相等。

【已知】AB // CD，EF 是它们的截线（图1·82）。

【求证】同位角 ∠1＝∠2  。

【分析】要证明 ∠1＝∠2，我们也可以证明 ∠1 不等于 ∠2 是不可能的。采用这种方法证明的时候，先要假定 ∠1 不等于 ∠2（大于或者小于)，那末再过点 O 作补助线 OP，使 ∠EOP＝∠2，如图1·83所示。然后再证明 ∠1 不等于 ∠2 是不可能的。

【证】假定 ∠1 不等于 ∠2，这样就可以过点 O 作一补助线 OP，使 ∠EOP＝∠2（图1·83）。

        但如果 ∠EOP＝∠2，则直线 OP // CD（同位角相等则两直线平行），而已知 AB // CD  。

        这里得出经过一点 O 有两条直线 AB 和 OP 都平行于直线 CD，这是不可以的（平行公理）。

        这是由于假定 ∠1 不等于 ∠2 而引起的矛盾，因此 ∠1 不等于 ∠2 的假定是不成立的。既然 ∠1 不等于 ∠2 不成立，那末 ∠1 就应该等于 ∠2  。

        从此得出本定理的结论，平行线的同位角相等。

【07】这里所采用的证明方法，不是直接去证明 ∠1＝∠2，而是反面去证明 ∠1 不等于 ∠2 是不可能的。事实上否定结论的反面，就是肯定结论的正面成立。这种证明的方法叫做反证法。

【08】有时为了证明的需要添作补助线（图1·83 的 OP），并且把补助线画成虚线，以便于区别。

【09】我们根据平行线性质定理1，就容易得到下面的一些性质：

【10】平行线性质定理2：两条平行线和第三条直线相交，那末内错角相等。

【已知】AB // CD，EF 是它们的截线（图1·84）。

【求证】∠3＝∠2  。

【分析】要证明∠3＝∠2，可以这样想：∠3＝∠1（对顶角），如果能证得∠1＝∠2，就可证得∠3＝∠2，但已知 AB // CD，所以 ∠1＝∠2（平行线的同位角相等），从这里可以证得本题的结论。

【证】AB // CD（已知），根据平行线性质定理1，可以得出 ∠1＝∠2，又 ∠1＝∠3（对顶角相等），∴ ∠3＝∠2（等于同量的量相等）。

【11】平行线性质定理3：两条平行线和第三直线相交，那末同旁内角的和等于180°  。

【已知】AB // CD，EF是它们的截线（图1·85）。

【求证】∠2＋∠4＝180°  。

【分析】要证明 ∠2＋∠4＝180°，只要证得 ∠1＝∠2  。因为 ∠1＋∠4＝180°，但题设 AB // CD，∠1＝∠2（平行线的同位角相等），由此可以证得本题的结论。

【证】AB // CD（已知），根裾平行线性质定理1，可以得出 ∠1＝∠2，

又 ∠1＋∠4＝180°（邻补角），∴ ∠2＋∠4＝180°（等量代入）。

【12】三直线平行的定理：如果两条直线都和第三条直线平行，那末这两条直线也互相平行。

【已知】AB // EF，CD // EF（图1·86）。

【求证】AB // CD.

【分析】要证明 AB // CD，可先作一补助直线 PQ 与它们相交，证明 ∠1＝∠2 就可以了。但是题设 AB // EF，CD // EF，所以有 ∠1＝∠3 和 ∠2＝∠3（平行线的同位角相等），即可证得 ∠1＝∠2  。

【证】任意画一条补助直线 PQ 与 AB，CD，EF 都相交，并注明它们的同位角为 ∠1，∠2 和 ∠3（图1·86）。

∵ AB // EF（已知）【符号“∵”表示“因为”】∴ ∠1＝∠3（平行线的同位角相等），

又 CD // EF（已知），∴ ∠2＝∠3（平行线的同位角相等），∴ ∠1＝∠2  。

根据平行线的判定定理，就有 AB // CD  。

例1.已知 ∠1＝∠7（图1·87）。求证 l₁ // l₂  。

【分析】要证明 l₁ // l₂，只要证明 ∠1＝∠5 就可以了。

【证】∠1＝∠7（已知），∠7＝∠5（对顶角），∴ ∠1＝∠5  。根据平行线的判定定理2，则有 l₁ // l₂  。

例2.求证，和两条平行线中的一条垂直的直线，也和另一条直线垂直。

【已知】l₁ // l₂，又 l₁ ⊥ l₃（图1·88）。

【求证】l₂ ⊥ l₃  。

【分析】要证明 l₂ ⊥ l₃，只要证明 ∠1＝90° 就可以了。

【证】l₁ ⊥ l₃（已知），∴ ∠2＝90°  。

又 l₁ // l₂（已知），∴ ∠1＝∠2（平行线的同位角相等），

即 ∠1＝90°（等量代入），∴ l₂ ⊥ l₃  。

例3.已知 AB // CD，∠1＝∠2（图1·89），那末 CD 平分 ∠BCE  。

本例的求证可以改写如下：

【求证】∠3＝∠2  。

【证】AB // CD（已知），∴ ∠1＝∠3（平行线的内错角相等）。

但 ∠1＝∠2（已知），∴ ∠3＝∠2（也就是 CD 平分∠BCE）。

例4.已知 AB // CD，∠3＝45°，∠1＝75°（图1·90）。求 ∠A  。

【解】因为 AB // CD  。所以 ∠2＝∠3＝45°（平行线的内错角相等），

而 ∠A＋∠1＋∠2＝180°（平行线的同旁内角互补）

∴ ∠A＝180°－∠1－∠2＝180°－75°－45°＝60°  。

答：∠A＝60  。

例5.已知 ∠1＝∠2，又 ∠3＝100°（图1·91）。求∠4  。

【解】因为 ∠1＝∠2（已知），又 ∠2＝∠5（对顶角），∴ ∠1＝∠5  。∴ l₁ // l₂（同位角相等）。

可知 ∠3＋∠4＝180°（平行线的同旁内角互补），∴ ∠4＝180°－∠3，已知 ∠3＝100°，即 ∠4＝180°－100°＝80°

答：∠4＝80°  。

习题1-12

1、已知AB // CD  。在图中找出相等的同位角，内错角和互补的同旁内角。【同位角有 ∠1＝∠4，∠3＝∠7，内错角有 ∠1＝∠9，∠3＝∠10，同旁内角有 ∠1＋∠8＝2d，∠3＋∠11＝2d】

2、已知 AB // DC，∠ADC＝∠ABC（如图）。求证 ∠1＝∠2  。[提示：先证明 AD // BC ]

3、图中已知 AB // CD，∠D＝23°，∠B＝42°  。求 ∠DEB [提示：过 E 作补助线 EF 平行于 AB ]【65°】

4、如图，已知 AB // DC，AD // BC，并且 ∠A 是直角，求其余三个角的度数。【其余三个角都是 90°】

5、如图，已知 ∠3＋∠4＝180°  。求证 ∠1＝∠2  。[提示：先证明 a // b ]

6、如图，已知 AB // CD，∠1＝∠2  。求证 EB // CF  。[提示：证明 ∠EBC＝∠FCB ]

7、如图，已知 l₁ // l₂，求证 ∠1＋∠8＝180°  。[提示：先证明 ∠1＝∠5 ]

8、如图，∠B＝∠D＝120°，∠A＝60°，(1) 哪些直线是平行的？(2) 求出 ∠C 的度数。【AB // CD，AD // BC，∠C＝60°】

9、用曲尺画 CD⊥ AB，再画 EF⊥AB，就可知道 CD 平行于 EF，为什么？【同位角相等】

10、如图，已知 ∠A＝∠B，又 AB // DC  。求证 ∠D＝∠C  。

11、如图，BCD 是一直线，CE // BA，∠1＝50°，∠2＝47°  。求 ∠A，∠B 和 ∠ACB 的度数。【∠A＝47°，∠B＝50°，∠ACB＝83°】

12、如图，已知 BA // DE，∠B＝150°，∠D＝140°  。求 ∠C  。[提示：过点 C 作补助线平行于 BA ]【70°】

13、两条平行线的同旁内角的度数之比为 11:7，求这两角的度数。[提示：可设这两角的度数为 x 和 y，根据题目所指出的关系，列出方程组再求解 ]【110°，70°】

14、如图，∠1＝45°，∠2＝45°，∠3＝125°  。求 ∠4 和 ∠5  。【∠4＝55°，∠5＝125°】

15、如图，DE 是过 △ABC 的顶点 A 的直线，并且 DE 平行于 BC  。求 ∠1＋∠2＋∠3 等于几度。[提示：利用 ∠4＋∠1＋∠5 等于 180° ]【∠1＋∠2＋∠3＝180°】

16、“两直线都与第三直线相交，则它们的同位角相等”，这样说法对吗？为什么？【不对，这两直线不一定是平行】