二重积分1

2023-07-02 11:33 作者:编程会一点建模不太懂 0人读过 | 我要投稿

题目选自2022年考研数学一

已知平面区域

$D%3D%5Cleft%5C%7B%20%5Cleft(%20x%2Cy%20%5Cright)%20%7Cy-2%5Cle%20x%5Cle%20%5Csqrt%7B4-y%5E2%7D%2C0%5Cle%20y%5Cle%202%20%5Cright%5C%7D%20%0A$

计算二重积分

$I%3D%5Ciint%5Climits_D%7B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20x-y%20%5Cright)%20%5E2%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7Ddxdy%7D$

因为积分区域部分存在圆域，故采用极坐标法计算

首先将直线方程和圆方程化为极坐标形式

已知

$%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%09x%3Dr%5Ccos%20%5Ctheta%5C%5C%0A%09y%3Dr%5Csin%20%5Ctheta%5C%5C%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.%20$

分别代入直线方程 $y-x%3D2$ 和圆方程 $x%5E2%2By%5E2%3D4$ ，得到

直线方程极坐标形式 $r%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csin%20%5Ctheta-%5Ccos%5Ctheta%7D$

圆方程极坐标形式 $r%3D2$

那么二重积分

$I%3D%5Ciint%5Climits_D%7B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20x-y%20%5Cright)%20%5E2%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7Ddxdy%7D$

$%3D%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%7Bd%5Ctheta%7D%5Cint_0%5E2%7B%5Cfrac%7Br%5E2%5Cleft(%20%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Csin%20%5Ctheta%20%5Cright)%20%5E2%7D%7Br%5E2%7Drdr%7D%2B%5Cint_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cpi%7D%7Bd%5Ctheta%7D%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Csin%20%5Ctheta%7D%7D%7B%5Cfrac%7Br%5E2%5Cleft(%20%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Csin%20%5Ctheta%20%5Cright)%20%5E2%7D%7Br%5E2%7Drdr%7D%0A$

$%3D%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%7B%5Cleft(%20%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Csin%20%5Ctheta%20%5Cright)%20%5E2d%5Ctheta%7D%5Cint_0%5E2%7Brdr%7D%2B%5Cint_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cpi%7D%7B%5Cleft(%20%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Csin%20%5Ctheta%20%5Cright)%20%5E2%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Csin%20%5Ctheta%7D%7D%7Brdr%7Dd%5Ctheta%7D%0A$

$%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dr%5E2%5Cmid_%7B0%7D%5E%7B2%7D%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%7B%5Cleft(%20%5Ccos%20%5E2%5Ctheta%20%2B%5Csin%20%5E2%5Ctheta%20-2%5Ccos%20%5Ctheta%20%5Csin%20%5Ctheta%20%5Cright)%20d%5Ctheta%7D%2B%5Cint_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cpi%7D%7B%5Cleft(%20%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Csin%20%5Ctheta%20%5Cright)%20%5E2%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dr%5E2%5Cmid_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Csin%20%5Ctheta%7D%7Dd%5Ctheta%7D%0A$

$%3D2%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%7B%5Cleft(%201-%5Csin%202%5Ctheta%20%5Cright)%20d%5Ctheta%7D%2B%5Cint_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cpi%7D%7B%5Cleft(%20%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Csin%20%5Ctheta%20%5Cright)%20%5E2%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Csin%20%5Ctheta%7D%20%5Cright)%20%5E2d%5Ctheta%7D%0A$

$%3D2%5Cleft(%20%5Ctheta%20%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccos%202%5Ctheta%20%5Cright)%20%5Cmid_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%2B2%5Cint_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cpi%7D%7Bd%5Ctheta%7D%0A$

$%3D2%5Cpi%20-2%0A$

题目分析：本题考察最基本的极坐标变换法计算二重积分，实际操作中，有不少基础比较好的同学采用积分区域对称性来处理，反而掉入命题人所设计的坑中，采用对称性计算反而会增大计算量。

回过头看，题目中除了圆方程和被积函数中 $x%5E2%2By%5E2$ 等暗示了极坐标算外，直线方程 $y-x%3D2$ 也对应了被积函数中 $(x-y)%5E2$ 这一部分，这里其实用直线方程的极坐标形式处理并不复杂，反倒是用几何对称处理，将直线 $y-x%3D2$ 沿 $y$ 轴对称翻折，得到直线方程 $x%2By%3D2$ 反而加大了计算难度。

标签：

二重积分1

二重积分1的评论 (共条)

你可能也喜欢这些文章

最新发布的文章

二重积分1

本文作者的其他文章

二重积分1的评论 (共 条)

你可能也喜欢这些文章

最新发布的文章

二重积分1的评论 (共条)