说到概率，大家都会想到什么东西呢？抛硬币？骰子？扑克？麻将？反正最近我正好看到了天麻里卷饼东一一本场天和（小林立你居然敢这么画？），甚至想重新下载雀魂体验神棍感觉，然后八巡四暗刻听牌立直后……变成立直对对三暗刻nomi，一时无话可说。

话说回来，FGO本质是个很冰冷又充满温度的概率游戏，原谅我说得这么拗口，但是大家总试过某个时间段内抽卡无论如何都出不了五星了吧？或者说歪震到心态爆炸都没见到自己想要的从者了吧？又或者说福袋看着术阶福袋1/5概率复明甚至可能双黄但结果仅仅跳出一个彩圈金术翻身1001的大起大落吧？如果你都遇到过上述问题，我会推荐你……嗯……好好洗洗睡觉，或许明天会更好。

对于竞速来说，估计很多人回想：为什么我两管体力下去都没能成功呢？别急，这涉及到了很多的概率问题。

目录

1. 概率、随机数和期望尝试次数

2. 技能成功率

3. 敌方行动

4. 即死

5. 发牌

6. 分星和暴击

7. 伤害随机

8. 结语

9. 附录

概率、随机数和期望尝试次数

概率是度量偶然事件发生可能性的数值。假如经过X次重复试验，偶然事件出现了Y次。以X作分母，Y作分子，形成了数值F=Y/X，我们把F称为频率。而在多次试验中，F相对稳定在某一数值上，此时令P=F，P就可以称为A出现的概率。这种偶然事件的概率是通过长期观察或大量重复试验来确定，称为统计概率或经验概率。

在FGO之中，基本在每一个一连串行动的判定都会存在一个随机数列进行决定，这个随机数列是伪随机的，但基本能保证概率均匀分步。而决定这个随机数列的就是在战斗前发出的一个种子，可以确定只要初始种子相同，则随机数序列相同。每次战斗开始时，这场战斗的种子就确定了，这张战斗中所有的可能性可以说已经定死了。FGO中对随机数的使用分布在每一个操作里：敌人攻击目标判定、伤害判定、暴击判定、出星判定、使用技能等等。（PS：对于种子能否改变发牌暂且没有任何实践证明）所以SL的实质就是改变每个操作分配到的随机数。

（至于什么事均匀分布啊伪随机数啊什么的建议自己学习概率论，下文还会聊到正态分布）

至于期望尝试次数，则是当你确定了一个偶然事件的概率之后，你大概需要重复多少次实验才能遇到一次这个偶然事件，这个次数为1/P，但并不是等于说我重复1/P次实验一定会出现一个。比如说抛一个D100的骰子（百面骰子，投掷的结果为1~100中随机一个整数），记出现骰子结果为1作为事件A，显然出现A的概率为P(A)=0.01。那么我们尝试投掷100次的骰子，这100次的重复试验里很有可能发生事件A。但这不是必然的，这点我们可以用二项分布来进行计算：至少100次投掷出现一次A的概率是：

P(100次试验中至少出现一次A)=1-(1-P(A))^100=0.634

可以看到，纵然是成功率开始仅有1%，但在百次重复试验的总样本中，出现一次成功的概率能提高到63.4%。所以啊，天才就是重复次数最多的人，人类的本质就是复读机，坚持就是胜利……讲那么多感觉没什么用，至于能不能坚持，我只能给出一句话：

生活就像海洋，只有意志坚定的人才能到达彼岸。

技能成功率

我们先来讲一下技能的成功率。这个技能是广义的，包含宝具和平A的附加效果。

首先我们基本会遇到几种情况，不妨我们假定一个情况吧，就当贞德单挑天之公牛本，这时候：贞德对弓凛使用了真名看破[LV.10]，DEBUFF并没有出现，而是出现了GUARD的字符；贞德对弓凛使用了神明裁决[LV.1]，DEBUFF并没有出现，而是出现了MISS的字符；还是那个贞德，对天之公牛使用了神明裁决[LV.10]，DEBUFF并没有出现，而是出现了NO EFFECT的字符。

没错，这就代表了三种情况：被施加技能的人抵抗了技能效果、技能者未能成功触发技能、技能使用对象无法被该技能影响（一般原因为强化/弱化无效或者不满足使用对象）。

实际上，除了NO EFFECT以外，技能还是有成功的可能，GUARD和MISS本质相同。我们先记住一个公式：技能成功率=技能固有概率±技能成功率BUFF∓目标耐性BUFF。如果成功率达到100%或以上则是必定成功，成功率在0%或以下则是必定失败。

技能有一个固有概率，比如说孔老师宝具[OC100]下的眩晕成功率为50%，贞德神明裁决[LV.10]是120%，而斯卡哈宝具/战斗服Gandr的眩晕成功率为500%。

技能成功率BUFF则包含弱体和强化成功率BUFF，有道具做成、精神污染、魔杖支配者或者太阳神的加护等等（顺便敌方也有降低我方强化成功率的DEBUFF，比如全力斗技的杰克和我们心心念念的巴巴托斯好姐妹佛钮司）。

耐性BUFF或DEBUFF主要指对魔力和仇阶被动，也有一些能够提升自身弱耐的技能。

总而言之，把这一堆加起来之后，我们就得到了一个技能成功率了。但是这个技能成功率只是一个概率——也就是说，谁能知道这一次会不会发生呢？竞速玩家可以把技能会有成功概率的情况分为三类：冠位对魔力以及概率性BUFF。这不是只有两类吗？

1. 对收益性DEBUFF的对魔力：收益性DEBUFF包含降防、降色卡耐性等，这类DEBUFF要求必须命中的情况下，就需要和对面的对魔力疯狂周旋。

2. 对减益性DEBUFF的对魔力：减益性DEBUFF一般指降低输出/行动不能/封印类DEBUFF，包含我方给予敌方或是敌方给予我方，这类DEBUFF应对方法有多个，我方还有解除的方法，但是对于敌方，基本只有一件事……期待别中，然后看着从天而降的八根柱子把别人砸晕了。如果是我方赋予敌方的情况，请切记：不要把贤王和孔明摆一起！！！！（PS：降攻降爆降宝威之类特定时候是收益性DEBUFF）

3. 概率性BUFF的MISS：概率性BUFF持有人很少，有魔境的智慧（智力-1-1-1）、天赋的睿智（双关）、伟大之魂（无比渺小）、魔性之貌（概率确实很魔性）、皇帝特权（乞丐版）、奇怪的药（迫真）和某理性丧失（无法挽救）。当然也包含敌方降低了我方强化成功率的情况。这种时候，请注意手速，SL就完事了。

针对技能成功概率的情况，其实不应该单独讲这么多，因为可以SL的次数太多了。比如你在首回合开一个累计成功率只有50%的技能，技能没有成功，你SL之后再来一次，依旧没有成功……当尝试次数不断增加，这个至少成功一次的概率会逐渐接近1。所以在有大量技能的时候，SL技能使得命中是很简单的，就是考验手速。

不过，到目前为止，还没有一个高难的敌人被动对魔力高到50%以上的（王哈的信仰加护是主动技能），目前一般认为敌方对魔力不高于50%。为什么这么说呢？因为对面对魔力高于50%为什么不直接弱体无效了呢？

敌方行动

敌方，也就是AI，它们的行动、伤害、是否暴击都是随机的，但是它们的行动准则都是可以靠解包出来的。这些解包数据可以从我们atkwiki上找到敌人的相应数据，每个boss的行动优先度不一（比如那个对着术阶暴打的黑呆），但我们还是可以找到一些共同点的，这些共同点主要是行动次数和基础暴击概率。

通常情况下，敌方单体的行动是有次数的，术狂行动次数只有2，其余都为3，例如情人节三期的豆爸，尼禄祭二期的B叔。不排除特殊情况。

基础暴击率，我方应对的敌人大部分为类型1，类型1的敌人基础暴击率如下（不排除特殊情况）：

剑枪术狂尺仇丑兽10%<骑癌15%<弓20%<杀30%

为什么杀阶在对面这么难受的道理应该明白了吧？暴击率高、气槽短、掉星少还回NP少，能克制杀阶的除了狂丑以外只有吃0.9系数的术阶，实在是最理想的BOSS职阶。

当然，如果当对敌方行动了如指掌之后，我们完全可以进行极限的操作，比如暗暗十分的王哈单挑情人节二期车轮[AV21492335]。

 即死

本来这个部分我打算最后才讲的，但是想了一下下面的篇幅，还是算了，直接这里讲吧。

即死成功率公式：即死成功率=即死效果率*固有即死率*(1±即死成功率BUFF∓即死耐性BUFF)

即死效果率为技能或宝具发动即死效果的概率；固有即死率便是即死对象的基础数值，我方从者的即死率由职阶、魔力决定，敌方影从者的即死率为10%，敌方从者的即死率为0～0.2%。

公式有一种不适用的情况，那就是如果即死的触发者与即死的作用者为同一人（自身即死效果从者列表），则强制即死（即使存在即死无效、即死耐性提升的BUFF），比如我们的劳模大英雄，还有百杀夜行的延时自杀。

发牌

别人总是说发牌姬的宠爱，发牌姬搞我，立直一发上铳……好像混入了一些什么奇怪的东西，不过没关系，只要是有牌堆的游戏，本质都是一样的，都是概率问题。

FGO的发牌机制我在上一篇科普文讲过了，场上三人的情况下，首轮15张牌随机抽出5张，次轮10张抽5同时决定第三轮的发牌。这个首回合指发牌首回合，并不等价T1。

然后我们要认识一个非常好的东西，叫组合数和排列数，这两个是数学里的一个计算符号，不做什么具体的介绍了。由于B站的输入法问题，我就直接用nCr来表示从n个数据里抽出r个数据进行组合的结果了。以下是一些常用的计算过程（由于本人数学没到家，下面能给出的都是单纯首回合的计算）

我们首回合的发牌一共有15C5=3003种，其中我们：

• 指定抽出某一张牌的概率是14C4*1/15C5=0.3333

• 指定抽出某两张牌的概率是13C3*2C2/15C5=0.0952

• 指定抽出某三张牌的概率是12C2*3C3/15C5=0.0220

• 至少打手一张牌的概率是：1-10C5/15C5=0.9161

• 至少打手两张牌的概率是：1-10C5/15C5-10C4*5C1/15C5=0.5664

• 至少打手三张牌的概率是：1-10C5/15C5-10C4*5C1/15C5-10C3*5C2/15C5=0.1668

• 打手全五张牌一次性发出：5C5/15C5=0.000333

可以看到，我们随着发牌要求的提高，难度也随之提高。

一个打手的指令卡卡组有6种：BBBAQ、BAAAQ、BAQQQ、BBAAQ、BBAQQ、BAAQQ。可以分为两类：221型和311型，两种类型的发牌概率完全不同，以一轮3回合发牌的总排列来计算，221型有108种发牌，而311型只有90种。

我们以BBAAQ和BAAAQ为例，计算具体的首回合至少发出这种牌型的发牌概率为：

至于为什么举这两种的例子我就不说了。（不就是因为西托奈BBAAQ，伊莉雅BAAAQ吗）

涉及多轮共享发牌时，可参考竞速先辈百川所制作的单角色发牌概率表：

双角色发牌与多角色发牌的分布在一定情况下有其意义，但具体说明极其复杂，在本文中也不会说明。

而当我们把竞速中所要求的发牌概率乘起来之后，就是我们的发牌总概率了，比如我们牌组为BAAAQ的伊莉雅小可爱要表演一个宝具三连发，要求起手AA，T2洗牌后来一个BA，T3我们把buff拉满使得可以无视发牌，那么这个剧本的发牌成功概率就是：5.40%，是一个比较轻松的概率。

每当说到发牌，我总能想起那个黑狗7T大菩萨。三轮啊！三轮啊！三轮BBB是什么鬼概念？再加上T3的发牌的3Q限制，那可是0.02198^4=2.334*10^-7，这个概率的概念是什么呢……大概是飞机失事概率的两倍。嗯，飞机失事的概率其实是很低的，不过比起大乐透中奖还是高两个数量级。

转一下题外话，大家应该知道日麻役满出现率很低吧？根据统计数字，四暗刻概率0.049%，国士无双0.043%，大三元0.039%，四喜（含大四喜+小四喜）0.012%，字一色0.008%，清老头0.00181%，地和0.00158%，绿一色0.0011%，九莲宝灯0.00045%，天和0.000303%，四杠子0.000234%。也就是说如果你能在一局内发出BBB*4，你还不如拿着运气去赌那个传说中的夭寿役。

分星和暴击

好了，在介绍完竞速最难以控制的发牌之后，我们该讲一下最玄学的分星和暴击。为什么说玄学呢，因为描述不能，只能靠构造一个程序去模拟这个机制，然而这已经超出的我知识范围了。（我写程序就像CXK）

首先呢，我们聊聊分星。分星我在上一篇里讲过，我们现在再提一下：

集星度：从者星权*(1±集星BUFF±指令卡集星BUFF)+随机权重，其中随机权重为随机分配的50、20、20、0、0。

我们可以知道，当从者星权越低的时候，集星度受随机权重影响越大，星星分配越不均匀，这也是狂阶单挑时候的优势所在，无集星技能的狂阶单挑过程中假如有14颗星，则高概率按照6:3:3:1:1来分布，被分配出高星星的卡暴击成功率自然高。假如是骑阶的话，这个分星基本就是按照均分来的了，比如3:3:3:3:2（この四暗刻だ！），是想暴击也难。

由于随机权重的存在，同时由于竞速中拐的不固定，大部分情况下并非双术+打手在场，使得分星很难构造一个合理的数学模型去描述，而因为分星实在玄学过头，我们对于暴击的具体概率也同样难以进行计算，在这里我们借用一下百川的1-49星的打手+双术单、双、三卡暴击概率模型[出处：https://bbs.nga.cn/read.php?tid=13165556]

这里的概率为打手全卡均暴击的概率，我们可以看到，这个暴击概率曲线均为S型或其变形的曲线：

• 当集星度较低（10-50）时，单卡暴击概率中低星下随星增加缓慢上升，星超过35后增长速度加快；而卡越多，则前期的暴击概率越低，且突然增长的拐点便越后。前期受星星数量影响较低，后期受星星数量影响较大（废话别人抢完了才有你的份）。对这类打手而言，除非信仰欧爆，否则想让他们稳定暴击需要维持40+的星星，且在高星下，单卡和多卡暴击的暴击概率相近。

• 随着集星度的增加，到90-100时，单卡暴击概率呈直线型增长；而卡增加，则变成前期斜率偏低后期斜率高的折线，卡越多前期的概率也越低，折点也越后。对这类打手而言，星星数量对暴击影响很大，虽然25星就能保证双卡50%暴击可能，但求稳定必然是越多越好。

• 集星度继续增加，到150以上时，单卡暴击概率先是快速增加到1附近，且集星度越高，增长速率越大，随后变成较稳定的直线；而卡增加，S型曲线的特征越明显，卡越多前期的概率也越低，两个折点也越靠后。对这类打手而言，中等数量的星下稳定爆多卡是他们的权利。

• 当集星度达到了300以上之后，低星下每张卡都能分配到一定数量的星星，使得他们完全有能力在低星下爆多卡。20星爆3对于他们来说其实也不算很难，因为每张卡都能分到5颗或以上的星星。当然剑兰的集星度是6100，号称人形吸星石，正常情况下除非剑兰星星溢出，不然其他人别想分出一颗星星。

顺便说一下，这个曲线在拐的星权更高时，会整体右移，也就是说保持一定暴击概率的话需要更多的星星。

对于如何稳定暴击，我们有一个话糙理不糙的方法：50星必定全部暴击。但其实也有另一个说法：你永远不知道49星会发生什么。

伤害随机

随机伤害是FGO竞速中最后的关卡，面对一个血量高于我们均伤的敌人，我们很需要随机数的帮助才能实现击杀。

我们首先可以知道，随机数是0.9~1.1（实际为0.9~1.099）的均匀分布，也就是对于一张指令卡的伤害而言，从0.9随机数到1.1随机数的出现概率都是等可能的。

我们记第一个张卡的伤害为A，平均伤害为a，有A~U(0.9a,1.1a)。伤害分布如下：

当我们再引入一个新的卡，伤害为B，平均伤害为b，有B~U(0.9b,1.1b)，伤害分布和A类似。

这时我们需要计算一下A+B的伤害分布，不妨假设Z=A+B且a>b，我们可以画出一个二维连续型均匀分布如下：

明显的，这是一个长0.2a宽0.2b的矩形。作斜率为-1的直线Y=-X+Z，平移该直线，当直线经过这个矩形时，直线于Y轴的截距Z则是两张卡伤害的总和，而直线被矩形区域所截取的长度可以看作概率密度的大小分布。明显可知，随着直线不断上升，这个概率密度不断增加，直到直线与矩形的角接触，之后保持稳定的概率密度，直到接触了新的角，继续移动直线则概率密度在不断减少。

经过定性分析，我们可以得到这个Z的概率分布如下：

这是一个等边梯形。

我们也能用三维的类似的定性方法去描述ABC三张卡的伤害，得到如下的伤害概率分布：

当然四维也可以得到：

是不是有些莫名的熟悉感呢？实际上，当增加的卡越多，这个伤害概率密度分布越接近一个我们熟悉的分布曲线：正态分布。

而这个分布的方差我们可以根据以下方法预估：

假若有两个卡伤害不同，那么这个伤害概率密度分布梯形的下底长度是0.2a+0.2b，上底长度是|0.2a-0.2b|。在a+b=const的情况下，a与b相差越离谱，上底长度自然越大，其概率密度分布曲线越低矮，即分布得越分散，方差增大。

将其类比到了三卡或者四卡的伤害分布也是同样，很明显的，每张卡间伤害偏差越大，这个总伤害的方差就越大。

这个方差的意义是什么呢？

首先我们定义一个击破概率，这个概率可以在敌方血量对于的总伤害位置上做一条垂直x轴的直线，则这条直线以右被概率分布曲线所围的区域的面积则是击破的概率。显然的，方差越大，对高血量的敌人击破概率越大。

我们举一个简单的例子，比如说我们要击杀一个105000血的敌人，而我们四张卡的平均总伤害只有100000，也即是我们需要打出一回合的均伤的1.05随机数，这个随机数难度有多大呢？如果我们四张卡的伤害都是25000，那么很遗憾，击破概率只有可怜的0.0402；如果伤害是40000/30000/20000/10000，那么击破概率则是0.0569，明显提高了；那我们再极端一点，取80000/10000/6000/4000，这个时候的击破概率则提高到了0.1842。

很震惊吧？这四张卡的伤害偏差越是极端，对需要打出高随机数的敌人击破概率就越高。

但这个方差是一把双刃剑，能帮你击破高血量的敌人同时，在你攻击本应该很低随机数就能击破的时候，你有可能被随机数制裁得死死的。还是那个例子，我们要击杀一个95000血的敌人，而我们四张卡的平均总伤害只有100000，也即是我们只需要打出一回合的均伤的0.95随机数。如果我们四张卡的伤害都是25000，那么不能击破的概率只有0.0402；如果伤害是40000/30000/20000/10000，那么不能击破概率则是0.0569；取80000/10000/6000/4000，这个时候的不能击破的概率则提高到了0.1842。

也即是说，如果方差大，则说明了这一次的伤害上限高而下限低。

总而言之，在伤害需要考虑高随机数的时候，伤害偏差足够大时，你尽管上；伤害偏差较小，建议悠着点，或许改变一下剧本是更好的方法。当然，一般情况里，宝xxex一套的伤害里每一张卡的伤害均值差异比较大，而这个方差提供了一个定性估算上限的方法。

当然，既然正态分布都弄出来了，我们也可以用正态分布的特性去理解多张卡的伤害分布。比如说，用脚趾想都能知道，一回合内四张指令卡全部打出1.1系数难度有多大。凡是剧本见到伤害随机1.1的，建议重写剧本，不要挣扎了，这是基本不可能的事情。

结语

写这个科普文虽然比起前篇要短得多，但是特别累，为了构建伤害随机的概型找了好多资料打算去用科学语音描述，结果发现还不如直接绘图。（对对对，我承认我菜，不好好学习）

总而言之竞速中与概率相关的事情非常之多，而一个普通剧本的理想成功率，基本只与发牌有关，也即是发牌成功率≈竞速成功率。只有发牌是不存在SL的可能性的，其余都是能通过SL出现多次尝试。当然如果是那种敌方血量甚至需要考虑roll高随机数的剧本，那么这个击破成功率也要算进这个成功率。

但这个成功率并不是绝对的，在一个高难里随时都有可能发生意外的情况，有可能本来计划着打出一个BQA的一套，然后只发出一个其他英灵的B和打手的BA，这种时候别放弃啊，万一首红下的BA击破了对面呢？相比于纯粹的发牌成功，有的时候可能稍微跑歪了也能成功竞速。这种情况尤其在车轮战里经常出现。所以说，竞速的实际成功率是在目标发牌成功率的上下浮动的，具体到某一个数值是很困难的。

不过上一个科普的评论里，既然提到了时间成本的话，首先我们先记住两个公式：

期望AP=期望次数*副本AP；期望时间=期望平均时间*期望次数。

在极端情况下期望时间超过副本开放的时间，那么需要采取新的思路组合。

简单来说就是：对一个5AP的本，假如剧本的发牌成功率是4%，那也就是25次里会大概出现一次，那么理论上的AP消耗为125AP，如果算上一些不稳定情况导致尝试次数增加，且各种概率问题的影响，使得实际消耗为180AP，也就是36次（这可是很常见的），每次进场两分钟，SL两分钟的情况下，开宝具15秒，一通操作2分钟，那么你打出你想要的剧本的那一次有可能会上10分钟。而在之前的尝试里，你有可能两分钟进本看到发牌直接退，有可能花费了678分钟进入了T2被发牌制裁直接退，有可能因为SL多次都未能成功而退出，这一段过程里消耗的时间非常的多（但至少比起1.08的伤害随机数容易），如果欧洲有可能半小时就出来了，如果脸黑则有可能6小时往上，当然这是实际情况里的两个极端。一般情况下，对于一般3T就能结束的本，每回合发牌不超过两张，伤害随机数在均值左右且分星压力不大，卖拐也很方便的话，期望就是一个小时左右；如果是稍微有一两个地方出现点压力的话，时间会稍微延长1-2小时；三四个地方出现压力，则会上升到5-6小时；而如果剧本处处漏风的话，那可能一天都没办法出现一次，这种剧本称为死亡剧本，除非这种剧本是唯一解，否则还是选择一个新的剧本吧。

虽然讲了这么多，但竞速不只是一个刷脸的玩法，每一个剧本的达成，离不开毅力和计算，还有偶尔的奇思妙想和突然的莽劲。哪怕过程只有沙漠般一成不变的荒芜风景，当翻越沙漠到达绿洲之后，我们不止有汗水，也有欣慰的微笑。

所以啊……不要停下来啊！（指竞速）

附录

参考资料

[理论分析] 战斗中随机数的具体应用，不同操作对SL的影响：https://bbs.nga.cn/read.php?tid=12011658

[理论分析] 打出黑狗7T大菩萨，还是中一万多次双色球，你选哪个？：https://bbs.nga.cn/read.php?tid=16663291

部分图片以及数据资料取自：[理论分析] [组队研究] 竞速的参考要素及衡量指标--在竞速中厨力放出：https://bbs.nga.cn/read.php?tid=13165556

部分公式来自Mooncell：https://fgo.wiki/w/%E6%B8%B8%E6%88%8F%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%9F%BA%E7%A1%80

特别鸣谢：家驹Asuka、③叁③