陶分拾柒(有理数的间隙)

整数散布

4.4.1，我们假设自然数x=a//B，接着分类。根据命题4.2.9，有理数序的三歧性，我们可以得到a=b，a>b或者aa>0，n=0符合题意。 最后若a>b>0，根据命题2.3.9，也就是欧几里得原理，存在m，r，满足0≤r

有理数的间隙

4.4.2，根据提示使用归纳法。 当k=0的时，aₙ≥0恒成立。 归纳性的假设对任意的一个自然数k，有任意的的自然数n，已经证明了aₙ≥k。接着，我们证明对 k+1成立该结论。 假设aₙaₙ。这违反了序的三歧性。因此无穷递降原理成立。 如果aₙ是整数，定义aₙ₊₁:=aₙ-1。 若是正有理数，定义aₙ₊₁:=aₙ//2。 4.4.3，利用归纳法，第一个为什么的证明是简单的，注意在归纳时说明异或性。利用习题2.3.4的结论，第二个为什么的证明也是简单的。

趋近和极限

命题4.4.5涉及到一个小归纳，归纳时要用到x²<2⇒(x+ε)²<2。 今天内容还挺少的，就到这里了