当代数学哲学导论（6）：无穷小的鬼魂
无穷小是第一个让人们感到困惑的概念。实际上，无穷小和无穷大是人们第一次接触到子集想象之外的东西。我们先列举历史上几个著名的问题。
（芝诺的乌龟）阿基里斯（又名阿喀琉斯）是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！
（飞矢不动）设想一支飞行的箭。在每一时刻，它位于空间中的一个特定位置。由于时刻无持续时间，箭在每个时刻都没有时间而只能是静止的。鉴于整个运动期间只包含时刻，而每个时刻又只有静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭总是静止的，它不可能在运动。上述结论也适用于时刻有持续时间的情况。对于这种情况，时刻将是时间的最小单元。假设箭在这样一个时刻中运动了，那么它将在这个时刻的开始和结束位于空间的不同位置。这说明时刻具有一个起点和一个终点，从而至少包含两部分。但这明显与时刻是时间的最小单元这一前提相矛盾。因此，即使时刻有持续时间，飞行的箭也不可能在运动。总之，飞矢不动。
（贝克莱）微积分在计算导数是经常要计算无穷小量。无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。
这些是历史上最著名的几个和无穷小相关的问题。现在可能还有流传更广的几个问题，也有一些更加有趣的问题。我们也列举一些。
0.9的无限循环是否等于1？
甲手中拿着一个炸弹，他在1/2秒时将炸弹扔给乙，乙在3/4秒时又扔给甲，甲在7/8秒时又扔给乙……如此反复，一秒钟过后谁会被炸死？
在0到1秒内，一个1 kg 重的物体在有理数时间受向右的1 N 的力，在无理数时间不受力，这个物体会怎样运动？
在0到1秒内，一个1 kg 重的物体在一个不可测集上受向右的1 N 的力，在其余时间不受力，这个物体会怎样运动？
在一个圆盘内考虑某种过程（比如热传导），假设它的边界条件使得方程只存在弱解而不存在强解，这个过程会怎样进行？
后面的几个问题是我瞎想的，目前好像还没有人给我一个令我满意的答案。下面就前几个问题做一些思考。
人们首先认识到运动的概念，并不是从无穷小这个问题出发的。这个时刻在这个地点，那个时刻不在这个地点，那就是移动了。如果这个时刻和那个时刻都在这个地点，那就没有移动（静止）。这有什么奇怪的呢？
从这个语言上来说，我们犯了一个可怕的错误：在一瞬间去谈静止和运动。因为上面的语言从来没有允许这样的操作。上面的语言一定要从两个时间点去谈运动和静止。
当然，一个瞬间是否运动应该是我们拓展的概念。不过上述语言并没有涉及到这一点，所以不能谈论这个操作。
第一个给出一个瞬间的的运动的概念的人是牛顿。牛顿设想，只需要将某个瞬间附近的时间不断缩小，直至一个很小的数值，使之即将成为0而不是0时，就得到了我们想要的速度。
这个想法其实还是挺不错的。除了一些哲学家（比如上面提到的贝克莱，大家知道数学被称为人类心智的荣耀，而贝克莱被一些人称为人类心智的耻辱）之外，几乎所有的物理学家和数学家都接受了这个观点。它的很多重要应用：复分析、微分几何、微分方程等等，都远在这个概念被彻底阐述清楚之前就得到了重要发展。而且里面的理论几乎都是完全正确的，鲜有错误（比如Riemann给出Riemann映照定理时应用了Dirichlet原理就不正确，不过结论是对的），成为了整个近代数学发展的最大的一块基石（还有一小块是抽象代数）。
在这套理论蓬勃发展并且取得巨大成功的今天，它的正确性已经不容怀疑了。如果有所怀疑，我建议立即拔掉自己家的电源插头，因为交流电的产热就是要用积分来算的，如果觉得上述原理不正确的话还是谨慎为妙。
现在我们如何理解无穷小呢？有很多种理解方法。
第一种是强行加入无穷小作为一个数学对象，这种做法衍生出了一门名为“非标准分析”的学科。这门学科和数学分析完全平行地发展出了一套分析理论。历史上的确有某些问题首先由非标准分析解决，然后才由数学分析解决。不过这套理论和数学分析的内容完全相同，只是发展出了别的方法，因此不推荐采用这种观点。
第二种是加入“速度”作为一个数学对象，在现代的微分流形理论中也就是所谓切向量的概念。也就是说，速度这个东西生活在一个和现实生活有所关联但并不相同的空间中。在李群或者黎曼流形中，利用指数映射可以将切向量转变为指定时间的位置。也就是说，给定速度和初始位置，可以给出最终的位置。这也是一个很有用的理论。不过因为这个理论门槛太高，所以说理解起来可能确实有所困难。
我认为最符合一般人的理解方式的方法是上述的悖论都妄谈了无穷。作为一个普通人，说出无穷是简单的，但是回答无穷是什么却是很困难的。例如在“炸死谁”悖论中，第一次扔出炸弹是我们能够理解和接受的，第二次扔出炸弹也是我们能够理解和接受的，但是由此往复，我们居然在潜意识里默认了第无穷次扔出炸弹也是我们能够理解和接受的！这是一个很危险的操作。是一个我们的语言所不允许的操作。
什么样的语言是允许的呢？例如，0.9的无限循环是一个允许的操作。因为在这里其实我们并不需要谈论无穷，我们谈论的是，对于每一个小数点后的位，它均是9。注意，这里并没有使用无穷，每一位都是我们能达到的有限位，对于这些有限位它们都是9。
事实上，芝诺的乌龟可能是最好解释的。因为无论经过多少次（哪怕是虚无缥缈的无限次），进行上述讨论的经历的距离不会超过111.1…米，但是显而易见阿基里斯能跑过111.1…米。所以在111.1…米以内，上述讨论是完全正确的，而在111.1…米以外，上述讨论是不正确的。
那么在111.1…米以内处是什么情况呢？事实上这一点是上述讨论的临界点，在此之前、在此之后我们都是熟悉的，在这个点处是一个临界状态，这其实并没有什么难以理解的地方。从0开始的数，一直到1都比1小，从1开始都比1大，1就是那个不大不小的临界状态，这有什么可奇怪的呢？只要我们把芝诺的乌龟作为一个参考系，它本身就是不动的，那么阿基里斯慢慢超越他，又有什么值得奇怪的呢？
飞矢不动实际上是混淆了位置和速度的关系。如果从完全静态的观点看问题，一切都是不动的。电流不动，我也不会打字。但是物体除了位置之外，还有着运动的趋势。这个运动的趋势同样是物体存在于空间的一部分。这一点最好的解释方法还是黎曼流形上的运动。
贝克莱的悖论已经被解决了，这里不再赘述。
0.9的无限循环是否等于1其实是一个数学问题。从实数公理的观点出发（即存在唯一完备的全序域），那么它当然是相等的。我认为出现这个问题的根本原因是对实数的定义不够清楚。
至于后面的问题，已经超出我的能力了。希望能够在以后来解决它。
