M = max(X,Y ) 及 N = min(X,Y ) 的分布

设X，Y是两个相互独立的随机变量，分布函数分别为FX (x)和FY (y ).求 M = max (X, Y ) 及N = min (X, Y )的分布函数.

分析：由于 “M = max (X,Y ) ≤ z” 等价于“X≤z, Y≤z”，故有

P(M≤z) = P(X≤z, Y≤z).

再由X 和Y 相互独立，得到 M = max (X,Y) 的分布函数为:

FM (z)=P (M≤z) = P(X≤z, Y≤z)

= P(X≤z) P(Y≤z) .

即 FM(z) = FX(z) FY(z) .

类似地，可得 N = min (X,Y) 的分布函数

FN (z ) = P(N≤z ) = 1-P (N>z )

= 1-P (X>z, Y>z)

= 1- P (X>z) P (Y>z) .

即有 FN(z) = 1-[1-FX (z)][1-FY (z)]

= FX (z )+FY (z)-FX (z )FY (z) .

如图所示, 系统L 由两个相互独立的子系统 L1,L2 联接而成, 联接方式分别为:

(1) 串联；

(2) 并联；

(3) 备用(开关完全可靠，子系统 L2在储备期内不失效，当L1.损坏时, L2开始工作).

设L1,L2的寿命分别为X 和Y，概率密度分别为:

其中a>0, b>0, 且a≠b为常数.分别对以上三种联接方式写出系统寿命Z 的概率密度.

解：先求X, Y 的分布函数

这里注意边缘分布和边缘密度的关系。