已知：正方形ABCD，∠EAF=45°

结论

①BE+DF=EF

②C△EFC=1/2*C□ABCD

③AE,AF分别是∠BEC,∠DFE的角平分线

④BM^2+DN^2=MN^2

⑤△AMN∽△DFN∽△BME（反8字）

△BME∽△DMA（正8字）

△AFE∽△AMN（反A）

⑥MN^2=MN*MD（△AMN∽△DAM）

AN^2=MN*NB（△AMN∽△BAN）

⑦M，N，F，E四点共圆

A，B，E，N四点共圆

A，M，F，D四点共圆

M，N，F，C，E五点共圆

⑧等腰Rt△AMF，Rt△ANE

⑨S△EFA=2S△AMN

⑩S□ABCD：S△AEF=2AB：EF

部分结论证明

①BE+DF=EF

∵AB=AD，∠ABF'=∠ADF=90°，BF'=DF

∴△ABF'≌△ADF ∴AF'=AF

∵AF'=AF，∠F'AE=∠FAE=45°，AE=AE

∴△F'AE≌△FAE ∴F'E=EF ∴BE+DF=EF

②C△EFC=1/2*C□ABCD

由①得BE+DF=EF

C△EFC=EF+EC+CF=BE+DF+EC+CF=BC+DC=2BC=1/2*C□ABCD

③AE,AF分别是∠BEC,∠DFE的角平分线

由①得F'AE≌△FAE，△ABF'≌△ADF

∴∠AF'E=∠AFE=∠AFD

证明AE是∠BEC的角平分线，同理只需将△ABE旋转

④BM^2+DN^2=MN^2

∵AN'=AN，∠N'AM=∠NAM，AM=AM

∴△N'AM≌NAM ∴N'M=MN

∵N'B=ND,∠ABN'+∠ABD=90°

∴BM^2+DN^2=MN^2

⑤△AMN∽△DFN∽△BME（反8字）

皆由一组相等的45°角和对顶角可得

△BME∽△DMA，△ANB∽△FND（正8字）

由平行可得

△AFE∽△AMN（反A）

由第一组相似可得∠ANM=∠AEB

由③得∠AEF=∠AEB

⑧ANE等腰Rt△AMF，Rt△

由⑦可得A，B，E，N四点共圆，A，M，F，D四点共圆

则有两组相等的45°角

∵∠EAF=45°

∴ANE等腰Rt△AMF，Rt△

⑨S△EFA=2S△AMN

由⑧得AM：AF=1：√2

由④⑤得△AN'M∽△AFE

∴△AN'M：△AFE=1：2

⑩S□ABCD：S△AEF=2AB：EF

由①得S△AF'E=S△AEF

S□ABCD：S△AF'E=AB^2：EF*AB*1/2=AB：EF*1/2=2AB：EF

中考在即，祝即将参加中考的学生们考出好成绩！

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