证明定积分性质：m（b-a）≤∫[a，b]f（x）d（x）≤M（b-a）

牛顿350、证明定积分性质：m（b-a）≤∫[a，b]f（x）d（x）≤M（b-a）

 

2010-09-06，网友“ecionaeli”上传名为《定积分的性质》的文档。

…定，积、分、积分，定积分：见《牛顿337~345》…

…性、质、性质：见《欧几里得37》…

（…《欧几里得》：小说名…）

文档内容：… 

…内、容、内容：见《欧几里得66》…

 

性质6、设M和m分别是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值及最小值，则

m（b-a）≤∫[a，b]f（x）d（x）≤M（b-a）

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

 

证 ∵ m≤f（x）≤M

∴ ∫[a，b]m d（x）≤∫[a，b]f（x）d（x）≤∫[a，b]M d（x）

{定积分性质5的推论（1）、如果在区间[a，b]上f（x）≤g（x），

则∫[a，b]f（x）d（x）≤∫[a，b]g（x）dx。

证明见《牛顿348》}

 

∴ m（b-a）≤∫[a，b]f（x）d（x）≤m（b-a）

{定积分性质1、常数可以提到积分号前。

 ∫[a，b]kf（x）dx=k∫[b，a]f（x）dx （k为常数）

证明见《牛顿343》

 

定积分性质4、∫[a，b]1·dx=∫[a，c]dx=b-a

证明见《牛顿346》}

 

（此性质可用于估计积分值的大致范围）

…∫：积分符号，为为字母s的拉长…见《牛顿338》…

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英语）：n.（名词）差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差。

adj.（形容词）差别的；以差别而定的；有区别的。

——《牛顿321》

 

dx什么意思？？——网友提问

2019-09-07，想玩游戏的猫：d（x）代表对x求微分。

dy/dx 中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函数中是，微分的意思。

dx就是对x的微分，是把增量细微化，dx就是很小很小的一个x。

——《牛顿3》]

“如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使∫[a，b]f（x）dx=f（ξ）（b-a）。（a≤ξ≤b）

请看下集《牛顿351、证明积分中值定理：∫[a，b]f（x）dx=f（ξ）（b-a）》”

 

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