【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep77】上极限及下极限：定理（上）

上次说到上/下极限的三种教材中常见的定义方式，这次继续来聊上下极限的一个重要定理/性质——

其实这是一条性质+一条定理啦——

1. 性质：数列{xn}恒有上/下极限；

2. 定理：上下极限相等是数列收敛的充要条件。

我们从性质聊起，上下极限的定义是对称的，所以书上以上极限为例展开较详细的证明，分为两种情形，情形二又细分为两种情形（排中律的简单应用）——

情形一：数列{xn}无上界——

数列{xn}无上界，即对于任意大数E>0，存在自然数N，xN>E。我们从中可以选出一个无穷大，方法如下——

1. 令xn1=x1；

2. 对n>1，必然存在n2，使得xn2>xn1，否则，对于任意n，xn<=xn1=x1，与数列无上界矛盾；

3. 以此类推，对n>nk，必然存在nk+1，使得nk+1>nk；

4. 将这个过程无限进行下去，就得到了一个单增无穷大， 其极限为+∞，显然这就是该数列的上极限。

情形二：数列{xn}有上界——

记{xn}的一个上界为M，这里出现了上次定义三中的构造数列，依次先构造出一系列数集——

A1={x1，x2，……，xk，……}；

A2={x2，x3，……，xk，……}；

……

An={xn，xn+1，……，xk，……}；

……

构造数列{Mn}，其中Mn是An的上确界，其极限为{xn}的上极限。

数列{Mn}显然具有性质：对于任意n，有Mn>=Mn+1，单调递减，则这种情形又分为两种情况——

a.数列{Mn}是负无穷大——

数列{Mn}是负无穷大，即对于任意大数E>0，存在自然数N，n>N时，Mn<-E；

由数列{Mn}定义，对于任意n>N，有xn<=Mn<=MN<-E，即{xn}为负无穷大。

则对于{xn}的任意子列{xnk}，有对于任意大数E>0，存在自然数N，nk>=k>N时，xnk<-E，即{xn}的所有子列都是负无穷大。

b.数列{Mn}收敛——

即数列{Mn}有有限极限，即为M*。

讨论之前，先要讨论M*的两个性质——

1）性质一：对于任意ε>0，存在N'，当n>N'，有xn<M*+ε。

可以由{Mn}和{M*}的定义直接导出：

1. M*为数列{Mn}的极限，即对于任意ε>0，存在N'，有M*-ε<MN'<M*+ε；

2. Mn为上述数集An的上确界，即对于任意自然数n>=N'，有xn<=Mn<=MN'；

3. 结合1、2，对于任意ε>0，存在N'，xn<=MN' <M*+ε，证毕。

2）性质二：对于任意ε>0与给定的N，存在n'>N，有xn'>M*-ε。

由{Mn}和{M*}的定义：

1. M*为单调递减数列{Mn}的极限，即对于任意自然数k，有M*<=Mk，否则，存在k0，当n>k0时，有M*>Mk0>=Mn，即取ε0=M*-Mk0，对于任意n>k0，有M*-ε0>=Mn，与M*是{Mn}极限矛盾；

2. 给定k=N，MN为上述数集AN的上确界，则对于任意ε>0，存在n'>=N，使得xn'>MN-ε>=M*-ε；

3. 综合1、2，得到对于任意ε>0与给定的N，存在n'>N，有xn'>M*-ε。

今天先到这里。