很水的数学分析121:紧致集和有界闭集

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0.感觉猫惄叔叔对有限覆盖定理的理解很有道理。总之有限覆盖定理很值得揣摩。
1.完善度量空间中紧致集、列紧集、有界闭集的三角关系。
上节课证明度量空间中紧致⇔列紧,
这节课分别证明度量空间中紧致⇨有界闭集,列紧⇨有界闭集,但逆命题不成立。
反例1:离散度量空间中,一个无限集是有界闭集,但不是紧致集。
反例2:可以构造Q的子集是有界闭集,但不是紧致集。
2.根据之前的定理、命题,很容易推得,
在IRⁿ中,有界闭集、紧致集、列紧集等价。
3.Heine—Cantor一致连续性定理。
因为一般的度量空间无序关系,所以紧致集上的连续映射只有一致连续性质好讨论。
4.实数理论的7个定理推广到一般的度量空间,现只剩闭区间套还没有推广,于是有紧致套定理。
①从这里感觉紧致套是有限交性质的重要应用。
②证明。
(ⅰ)先证引理2.2(跟定理2.33条件需要区分清楚),从DeMorgan律证明很清晰。
(ⅱ)引理保证了K≠∅,现证明唯一性,假设K中不止一个元素,推出矛盾。