看不懂的高等代数（五）
OK！我们终于将行列式的基本内容介绍完了！接下来，我们就可以进入行列式的最后一个部分——行列式按k行（列）展开。
我们上一篇专栏已经讲过了行列式按一行（列）展开的公式，其作用可以说是十分显著的，这可以通过我们上一篇里的思考来体会。这一篇里，我们会将这一结论升级，转变为关于k行（列）的展开公式。其原理倒也类似，只是讨论起来多了一些东西要考虑罢了。
Chapter Two 行列式
2.6 行列式按k行（列）展开
我们上一篇里提到的按一行（列）展开公式的基本思路是固定n个元素将乘积项分类，进而去研究各类中的乘积项的求和是什么样的。以这样的思路我们得到的是行列式按一行（列）展开的公式。如果我们大胆一点，把一行变为k行，能否得到类似的结论呢？
为了便于我们表述我们这一大胆的想法，我们需要定义一个有关行列式的新的概念——行列式的子式。
我们在上一篇专栏中介绍行列式的展开公式的时候曾经说明过，所谓余子式，就是去除行列式某一个元素所在行和列的全部元素，其他的元素保持相对位置不动而直接组合形成的新的降一阶的行列式。余子式事实上是一种特殊的子式，其特点是仅去除了行列式中与特定元素相关的元素，而其他的元素仍旧是原行列式中的不动的元素。那么，抽离出其特点，我们可以对应地定义对于行列式某k行k列而言的子式和余子式。
我们不难观察到，被去除的元素实际上可以被看成是其所在行与列的交叉点位置的元素。而一阶行列式就是元素本身，于是被去除的元素本身也就可以被看成由某一行一列交叉出的元素构成的行列式。更一般的，我们任意取定行列式的某k行与k列的交叉处的个元素，不改变其相对位置，得到了一个k阶行列式。由于所有的元素都是行列式内的元素，于是我们称这样的行列式为原行列式的k阶子式，记为：
对应的，去除这k行与k列的所有元素后，剩下的元素不改变其相对位置，组合成了一个n-k阶子式（相当于是剩下的n-k行与n-k列交叉处的元素构成的子式），称之为该k阶子式的余子式，记为：
参考对于一行（列）展开的情况，我们可以仿照原本的形式，定义：
为这k阶子式的代数余子式。
那么，按照行列式按一行（列）展开的公式，我们猜测行列式按k行（列）展开的公式可能也具有类似的形式：
其中，有：
首先，对于的选取，由于实际上是在n列当中选择出k列来构成子式，所以一共有
中选择方式，也就是右侧实际上是对共
项求和；同时，又因为对于每个选定好的子式与余子式，其包含的乘积项分别共有k!与(n-k)!项，于是在右侧表达式中共有n!项。这表明，左右两侧的带求和的乘积项的数目是一样的。我们接下来要做的，只是去证明，等式右侧表达式中的每个乘积项在等式左侧的表达式中都有一项与之对应。
我们只要直接将乘积项的表达式写出来，做一些简单的变换推导就能得到：
由于数项乘法具有交换律，所以我们可以很自然地将其写成如下形式：
所以我们只需要证明：
显然，我们知道：
（简单解释，就是说，较大的数组的排列当中一定包含了小的数组的排列的逆序数；同时，还应该有两个互不交叉的数组之间的元素排列出的逆序数。后者的计算可以使用固定其中一个数组，使另一个数组中的元素与之一一配对，比较大小，得到对应的逆序对数。将所有这样得到的逆序对数加和，就是这一部分的逆序数。）
对于任何一个而言，我们不妨设其在第一个数组当中有t-1个元素比它小，从而它是第t位的。而在总共的n个数当中，一共应该有
个数比
小。于是在第二个数组当中，一共有
个数比
小。从而对应的逆序数就有：
显然，在s取遍1到k时，t也应该取遍1到k，于是就有：
当然，关于如何计算等号左侧的第三项，我们还可以采取一个巧妙的构造方法。从第三项的表达式上来看，实际上是在求第一个数组的元素相对于第二个数组排列的逆序对数。现在，我们考虑第一个数组的一个顺序排列（即按照大小顺序排列出的逆序数为0的排列）：
于是，我们就知道：
（还是采用了我们的解释当中的做法，只不过是逆用了一下。）
递推可得：
此时，对于等号右侧的逆序数所对应的排列，我们就能发现：
总之，不管如何理解，我们都得到了：
又考虑到：
于是我们的待证就变成了：
按照我们前面所讨论的，应该有：
但是考虑到我们的选取，子式与余子式的元素的相对位置都不改变，所以天然有：
于是有：
于是我们就证明了定理。
这就是行列式的按k行（列）展开公式，这一定理称为Laplace定理。
（这里一定要注意到，k(k+1)一定是一个偶数，这是初等数论的基本结论。）
作为这一定理的直接应用，我们不难得出：
（其中，A为m阶方阵，B为n阶方阵，C为n×m阶矩阵，O为元素全为0的矩阵。）
我们后面会讲到，这种表示法称为矩阵的分块。但是现在，我们只需要知道，这只是一种按照区域对矩阵进行一种分类的表示方法即可。
思考：
计算2n阶行列式：
みんながすべてマスターすることができることを望み ます！
