【数学基础148】常微分方程：史济怀老师视频微分方程相关内容总结（十七）

史济怀老师视频课微分方程部分——

&3.二阶线性微分方程的一般理论

&3.2二阶线性非齐次方程解的结构

例题：求解xy"-y'=x^2.

解：

• 化成线性微分方程为y"-y'/x=x，该方程对应的齐次方程为y"-y'/x=0，找到该方程的一对基本解组；

• 首先根据代数学知识，对于齐次方程，y"=0，y'=0，一定满足该方程，那么存在一个解为y=c，为了简便，不妨设y=1；

• 另一个解，我们令y'=p，则齐次方程化为p'-p/x=0，即dp/dx-p/x=0；

• 由dp/dx-p/x=0得dp/p=dx/x，两边积分：

• 则得到齐次方程的一个基本解组：y1=1，y2=x^2，对应的Wronsky行列式为：

• 代入147期公式则可得：

• 得到一个特解y*(x)：