两个简单的数学问题
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\title{两个简单的数学问题}
\author{真王无敌}
\date{}
\geometry{a4paper,top=0.5cm,left=2cm,right=2cm}
\begin{document}
\maketitle
\section*{题目}
1、(SHNU)化简矩阵项级数$I_2+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{A^n}{n!}$为最简形式，其中$A=$
$\begin{pmatrix}
0 & t \\
-t & 0
\end{pmatrix}$
$,t\in \mathbb{R}$
2、(FDU)已知$E$为三阶单位矩阵，三阶矩阵$B=$
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}$
，求极限$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left|E-\displaystyle\frac{1}{n}B\right|^n$
\section*{解答}
1、计算不难得到：
$$A^2=
\begin{pmatrix}
-t^2 & 0 \\
0 & -t^2
\end{pmatrix},A^{2n}=(-1)^n
\begin{pmatrix}
t^{2n} & 0 \\
0 & t^{2n}
\end{pmatrix},A^{2n+1}=(-1)^n
\begin{pmatrix}
0 & t^{2n+1} \\
t^{2n+1} & 0
\end{pmatrix}
$$
于是
\begin{align*}
I_2+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{A^n}{n!}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^{2n}}{(2n)!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
&=
\begin{pmatrix}
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^nt^{2n}}{(2n)!} & 0 \\
0 & \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^nt^{2n}}{(2n)!}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 & \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^nt^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^nt^{2n+1}}{(2n+1)!} & 0
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\cos t & 0 \\
0 & \cos t
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 & \sin t \\
-\sin t & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos t & \sin t \\
-\sin t & \cos t
\end{pmatrix} \\
\end{align*}
2、不难计算
$$\left|E-\displaystyle\frac{1}{n}B\right|=
\begin{vmatrix}
1-\displaystyle\frac{1}{n} & \displaystyle\frac{2}{n} & \displaystyle\frac{3}{n} \\
\displaystyle\frac{4}{n} & 1-\displaystyle\frac{5}{n} & \displaystyle\frac{6}{n} \\
\displaystyle\frac{7}{n} & \displaystyle\frac{8}{n} & 1-\displaystyle\frac{9}{n} \\
\end{vmatrix}
=1-\frac{15}{n}-\frac{18}{n^2}
$$
于是问题就变成了求极限
$$\lim_{n\to +\infty}\left(1-\frac{15}{n}-\frac{18}{n^2}\right)^n=\lim_{n\to +\infty}\left(1-\frac{15}{n}-\frac{18}{n^2}\right)^{\displaystyle\frac{1}{\frac{15}{n}+\frac{18}{n^2}}\cdot\left(\frac{15}{n}+\frac{18}{n^2}\right)n}=e^{-\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(15+\frac{18}{n}\right)}=e^{-15}$$
\end{document}
