平面几何题目分享（16）六边形的“退化”之路

如图，P为圆O外一点，切线PA，PB，EF为弧AB上两点，△PEA，△PEB，△PFA，△PFB外心分别为M，N，R，S，求证：MR∥SN。

观察EF两点，不难发现这个图具有很高的对称性，将EF两点互换，得到的图形与原图一模一样，也就是说，在这个图中这两点的地位是相同的。有此可以猜测此题的证明也应具有很高的对称性，说白了，证完一半，另一半同理。

根据这样的猜测，结合要证的平行，我们便有了这样一个思路：寻找一条线，分别证明两条线都与这条线垂直。这样，我们便把一个平行问题分解成了两个对称的垂直问题。

因为MNRS四点均为外心，我们自然想到，有一条“天然”的与外心连线垂直的线：根轴。

如上图做出辅助线，易得PC⊥MR，PV⊥SN。但PC，PV并不是我们要找的“一条直线”，而似乎是两条直线。但不用担心，我们只要证PC，PV是一条直线就可以了，即证PVC三点共线。（相当于消去四个外心）

由根心定理，我们能够得到一些共线，设AE∩BF=U，易得PCU共线；PHV共线，于是我们将问题转化成了证PUH三点共线。（相当于消去C，V两点）

这里我们用帕斯卡定理来证明这个共线。帕斯卡定理的内容是圆锥曲线内接六边形对边交点共线。但这里似乎没有在圆上的六边形。那为何可用帕斯卡定理呢？

这里的确没有六边形，是因为他已经“退化”了。何为“退化？我们考虑圆的内接六边形ABCDEF，当其中两点重合时（如AB重合）AB这条边便成为了圆的一条过A的切线。这时，六边形ABCDEF便成为了退化六边形AACDEF。振奋人心的是，帕斯卡定理在退化六边形中仍然成立！

回到上图，圆上有四个点ABEF和过A，B的两条切线，构成了退化六边形AAEFBB，由帕斯卡定理，易得PUH三点共线，于是，此题得证！

由上题的例子，不难看出帕斯卡定理在共线的证明中应用的十分灵活，在山重水复之际给人柳暗花明之感，通常会使证明简洁巧妙。这里再放一个“脑筋急转弯”，运用上题的思路可以一步解决，大佬们如兴趣可以尝试一下。

△ABC，内切圆切点DEF，如图交出点XYZ，求证：XYZ三点共线。