我是怎么学数学的？

夜不能寐。 睡前不应该学数学。

说正事，数学的水平主要依赖于两件事情，过去的水平和现在的学习方法。

过去的事情已经过去了，但龟兔赛跑的故事是熟知的，所以我们只讨论学习方法。而且，我只说我的学习方法，至于是否具有普适性则有待商榷。

学生大抵有两种，聪明的和不聪明的。前者是天赋异禀，领悟能力极强的，这类学生不需要很用功就可以学懂很多东西，而且很多时候靠直觉就可以发现很多新东西。而不聪明的学生并不是不能领悟，也不是不能形成直觉，而是这个过程会用掉几倍甚至几十倍的时间。没必要谦虚，我属于后者。

最主要的学习方法就是坚持本身。聪明的人或许一上来能把书看掉好几十页，兴奋劲过去了就看不下去了，可能是缺乏了“动力”。但是像我这种不聪明的人，读书靠死脑筋，没有天赋所以只能靠努力。我每天醒着的时间里，大部分时间都和数学有关，而这其中又有大部分时间是在自学新课的。这样一来，我的学习进度，实际上比很多可能很聪明的学生都要快很多。

两个关键词，一个是自学，一个是新课。

我从来没听说过什么真正研究数学的人大部分时间不是在自学的。任何一节课都会受限于学生和老师的水平，人能选择的有水平的课又是相当有限的。另外，课堂上讲的知识往往是偏简单的，而且覆盖范围也会很少，课时也不长。这样一来，从书本到课堂，信息量就少了很多。所以我学的知识，大多直接来自于书本。

至于新课这个词，我想表达的，一个是人不应该沉溺于过去的成就。一个人就算过去的学习经历再辉煌，也应该不断的学习新的知识。在此基础上再去谈论巩固旧知识。另一方面，一个非常重要的记忆理论在于如果你一天背十个单词，你大概会忘掉一两个，而你如果一天背两百个单词，你大概也能记住一百个。很多时候，重要的不是比例，而是绝对的数值。所有的效率上的统筹和优化，目的是成果尽可能的好。就同一本书难度相近的章节来说，一天学了30页就是绝对的比一天学了20页更好。因为你会吸收更多的东西。有的东西，就算你当时没有理解，过了一周或者更长的时间，你会发现顿悟了某个细节，这个原因主要是人在潜意识下也会进行思考。所以把这一部分工作交给大脑，而自己负责大规模高强度的学习，是非常合理的方法。

休息一下，换个观点。

有人可能会问，应该怎么挑选教科书呢？

在竞技比赛的领域中，让人进步最快的方法是去找那些水平略高于自己的对手。在这个压力水平下，人的提升是最大的。类似地，一个刚学了微积分而不懂极限的人直接学拓扑学，是很不合理的，而对于像我这种写这篇文章时刚学完经典解析数论，正在学习代数数论和表示论的人来说，让我接下来直接看自守表示论和朗兰兹纲领，显然也是很不合理的。因为前者隔了至少一门课程，而后者至少隔了三门课程。说到这里，我又有一个很有意思的观点了。

有一部分人对比自己水平略高一点的课嗤之以鼻，而对于比自己水平高五个档次的课倒是心神向往，他们翻开完全不可能看得懂的教科书，花了一个礼拜的时间，发现什么也看不懂。但是当他们正要学习某个曾经很难的课的时候，又会感觉充满恐惧。我发觉这种期待和恐惧的对立统一特别有意思。但是客观的方法去理解应该是，选对了合理难度的教科书，一步一个脚印走到越来越高的地方，不卑不亢，这才是最好的学习方法。

还有一个微妙的点就是尽量首先选择经典的教科书，这个观点今天刚和victor达成共识。因为其实任何的书，过了二十年以后大部分书都被淘汰了，所谓经典就是剩下的没被淘汰的金子。其次，人应该去看看大部分人推荐的书。可是最重要的是，这书你挑了以后是自己看的，所以你自己的观点是最重要的。你读了第一章，读了第二章的前两个小节，基本就知道这本书是否对你胃口了。

再换一个观点。

关于拖延与时间管理。

我曾经是拖延症晚期。但是我现在时间管理做的非常好。所以简单分享一下学习上的时间管理的技巧。

最核心最关键的是你的动机。我的动机是要在四个月里全面削减校内课时，大规模高强度地学习数论及相关领域的知识，为了将来的研究更方便。你的动机可以是考研，参加某个竞赛，或者任何别的什么动机。有时候，你的出发点可能是“不道德”的动机，但时间长了你也会找到更好的动机，这个观点在前一篇专栏文章中也论述了。

如果你没有动机，你就没有时间管理。非常简单。

我们不妨假设你有一个动机，无论好坏，你现在想出是个动机了。这个动机可能是短期也可能是长期的，可能是一个任务或者好几个任务的组成。通过拆解人可以把大目标分解成相对来说小一点的小目标。举个例子，如果你参加竞赛那肯定是非常小的目标了。而像我那种要学很多课的目标，就属于大目标，必须分解。例如我会分解成具体的课程，比如这六门课程：解析数论，代数数论，……

那么进一步不失一般性，假设你有一个小目标。那么这时间，你最需要做的事情是估计时间。最好的估计方法是通过几天的尝试估计均值和预期的完成时间，并在此基础上给自己缩短5-10%的时间，或者缩到更短，取决于动机和勇气，因人而异，不赘述。举个例子，你要学交换代数，atiyah的书正文130页，你学了几天（第一章前半部分不算），发现一小时平均能读1-3页。那么你取平均值一小时2页，预测自己每天可分配给交换代数的稳定的专注学习时长是3个小时，那么一天6页，你要学习22天。适当缩短时间，限制在一个18-20天的目标是非常合理的。这里的参数完全因人而异，请大家靠自己的智慧去判断。一定要做实验，绝对不要高估自己的水平，因为这样做是时间管理的大忌。

其实到这里，你的目标定的足够好的话，已经成功了一半了。你可能会犯的错误包括：

1. 高估自己的水平，导致任务绝对不可能在规定时间做得完

2. 低估自己的水平，导致完成任务以后沾沾自喜，不再学别的东西或者修改计划

3. 永远不安排这三个小时的学习时间，拖延一天就是大忌，必须防微杜渐

4. 没有记录自己的努力过程，在一段时间以后失去动力，觉得自己进展太慢，很无能

5. 没有记录自己的努力过程，在一段时间以后失去勇气，感觉自己学不下去了，太难了

6. 自己的计划和主要学习/工作任务严重冲突，无法兼顾，导致生活失调

7. 自己的计划和情绪管理/人际关系严重冲突，无法兼顾，导致生活失调

8. 自己的计划和身体状况严重冲突，导致生各种小病/大病，导致生活失调

9. 计划不具有前瞻性，就算完成了，也看不到前面的路。导致人缺乏动力而使得计划失败，或者本身计划就没有什么意义了。

10. 对社交敏感的人，没有适当对身边的人宣布这个计划，而选择沉默，为了防止计划失败而可能出现的不利影响。一定时间后无法坚持，想想也没有人知道，于是不做了。

你可能会笑，但是上面这十个问题都发生在我身上过。一言以蔽之就是凡事要有个度。一切的完美主义落到最后都是完美的痛苦。一定要注重实际。基本就是这样。

祝愿大家过个好年，新的一年里学业有成，身体健康，万事如意，和身边的人好好相处，祝愿新年的愿望能至少坚持到第二个月。