垂足曲线方程的一般求法

原视频:BV1kT411g7Mw

设是曲线上的一点，是一个定点

则点关于曲线的切线方程为：

(其中k是切线斜率，需要通过对曲线进行隐微分得到y'后代入坐标解得，即k为关于x₀和y₀的表达式)

过点作该切线的垂线，其方程为：

联立：

解得：

设垂足坐标为：(x₂,y₂)

则

若方程组有解(变换可逆)，根据相关点法，需把x₀,y₀当成未知量解上述方程

将x₀和y₀用x₂和y₂表示

最后代入f(x₀,y₀)=0将x₀,y₀换成x₂,y₂即得垂足运动轨迹方程

若方程组无解(变换不可逆)，则采用其他方法，比如参数法

ps:有关相关点法的介绍和注意事项可参考该文章评论区置顶的专栏

上述是一般解法，需要具体的曲线具体分析，下面我们举视频中的例子来使用。

（1）圆

隐微分得：

则

代入解方程，显然比较困难，于是采用参数法：

令

则

上述即圆关于点(x₁,y₁)的垂足曲线的参数方程

当绿点(定点)在圆上时：

(2)抛物线

则

上述为关于x₀,y₀的方程，仍比较困难

因此需采用其他方法，如参数法

令

则

上述即抛物线关于点(x₁,y₁)的垂足曲线的参数方程