表述Uryshon引理的应用以及证明Uryshon引理与Tieze扩张定理的等价性

本文是选修我校数学类专业课《拓扑学》上时的期中作业，因为b站专栏无法导入公式的原因，其中很多的证明方法我就直接选择用原文的截图来代替。

我们首先给出Uryshon引理的表述和书本上的初步证明

Urysohn引理表述为：拓扑空间X是正规空间的充要条件为对X的任意两个不相交的闭子集A和B，存在连续映射f：X→[a,b]，使得f（A）={a}，f（B）={b}.

用更为通俗的话来解释就是：正规空间中不相交的闭集被函数隔离。

该表述的来源是来自于李元熹和张国梁编著的《拓扑学》，上海科技出版社，1986年。

同样在James R.Munkres 编著的拓扑学第二版中，也给出了相应的表述和证明。

Uryshon引理的证明过程如下：（来源于James R.Munkres 编著的《拓扑学》第二版）

相对于李和张的证明，James的证明更为详细具体，可做参考。

Uryshon引理表明：如果X中每一对无交的闭集能用无交的开集分离，那么它们也能用一个连续函数分离，其逆是显然的。

Uryshon引理的应用主要表现在对点击拓扑中空间的分离性提供了更多可以探究的性质，接下来我们主要介绍其个应用方面

1、对于完全正则空间的定义

2、构造简单的正则却非完全正则空间

3、对于Tietze扩张定理的证明

4、证明Tietze扩张定理和Uryshon引理的等价性（Tietze扩张定理蕴含着Uryshon引理）

1、对于完全正则空间的定义

引入：Uryshon引理说明了X中每一对无交的闭集能用无交的开集分离，那么它们也能用一个连续函数分离，其逆是显然的。那么就会提出这样的问题：Uryshon引理的证明能否推广到正则空间上。既然在正则空间上能通无交的开集来分离点和闭集，那么是否也能用连续函数来分离点和闭集呢？

2、构造简单的正则却非完全正则空间

3、Tietze扩张定理的表述和证明

Tietze扩张定理的表述为：社X是一个正规空间，A是X的一个闭子集，则

a) 任何一个从A到R的闭区间中的连续映射都可以扩张为从整个空间X到中的一个连续映射

b) 任何一个从A到R中的连续映射都可以扩张为从整个空间X到R中的一个连续映射

证明的过程仍然采用James R.Munkres更为详细具体的证明方法：

4、证明Tietze扩张定理和Uryshon引理的等价性（Tietze扩张定理蕴含着Uryshon引理）

李和张的《拓扑学》中一笔带过了这部分的证明，称“事实上不难证明他们是等价的”。

事实上，Tietze扩张定理说明了：闭集上的连续函数有给定值域的扩张

而Uryshon引理则说明了：不相交的闭集可用连续函数分离

利用Uryshon引理证明Tietze扩张定理的表述已在上面有所证明，而反过来的证明通过该表述也变得显然了。