量子计算 [2].ext

本篇

狄拉克符号

狄拉克符号(Dirac notation)里分为左矢(bar)和右矢(ket)两种符号,  对应线性代数里面的行向量和列向量,  需要注意的是狄拉克符号里没有矩阵的概念,  而是使用右矢与左矢作乘法[矩阵乘法]表示矩阵.

量子状态使用右矢描述|ψ❭,  此时对应的是列向量,  即:

当右矢|ψ❭取厄米共轭[同时把矩阵/向量取转置和共轭]时,  写作左矢❬ψ|,  即:

从向量定义不难看出,  两状态|ψ❭和|φ❭的内积可以写为:  ❬ψ|φ❭ [内积其实也是从矩阵乘法里导出的].  并且从矩阵乘法的定义也不能看出,  两状态的外积  |ψ❭❬φ|  可以得成矩阵:

张量积

张量(tensor)是对一种以表格储存数字的对象的称呼,  向量是一维张量,  矩阵是二维张量,  类似地还有三维, 四维等张量,  但已经超过讨论范围了.  特别地,  数字可以看作零维张量.

与数乘,  内积外积和矩阵乘法不同,  张量积(tensor prodot)是一种作用在张量维度上的操作,  两矩阵的张量积计算:

因为向量可以看作是矩阵的特殊形式,  所以向量的张量积与矩阵张量积有类似的定义,  以两量子位做例子:

需要注意的是,  两右矢的张量积的正确写法只有下面两种

因为普通的矩阵乘法没有定义两个列向量的之间的运算,  为了偷懒,  把张量积的⊗忽略不写也可以看作张量积了.  另外,  在量子计算里常用逗号隔开数据位和结果位,  比如 |x, y❭,  这种写法与|xy❭相等,  但可以直观地分清量子位之间的作用.

与乘法类似,  当有n个相同的右矢作张量积时,  可以写作类似次方的样子: 

类似地,  为了偷懒也可以把右上角的⊗忽略不写

量子位门

对于单量子位门U,  实际上可以写为:

对于多量子位门,  假设位门作用在n个量子位上,  则可以写作4个作用在n-1个量子位上位门与4个单量子位门的张量积,  比如双量子位门: 

这种形式可以方便地写为狄拉克符号的形式

需要注意的是在狄拉克符号里,  同时出现乘法[矩阵乘法]和张量积时,  可以满足一定量的"交换律",  这里以CNOT门为例:

虽然也不是交换律,  但是看上去就像是张量积两边的左矢右矢交换了一样

与表示量子位的右矢类似,  如果把多个相同的位门作用在多个量子位上,  也有类似次方的写法

但需要注意的是,  因为位门[也就是矩阵]之间存在已定义的乘法,  所以位门之间和右上角的⊗不可忽略.  但最后一种写法 (U|ψ❭)^(⊗n),  因为是先运算括号内的东西,  括号内的实际上是一个量子位状态,  也就是右矢,  所以这时候右上角的⊗是可以忽略的.

由于量子的归一化条件限制,  即输入和输出的量子位的概率和必定为1,  表示位门的矩阵必定为酉矩阵(Unitary Matrix) [也就是复数上的标准正交基组成的矩阵],  假设U为表示位门的矩阵,  U^-1为U的逆,  那么 U U^-1 = U^-1 U = I

位门的逆

位门的逆实际上就是相应矩阵的逆组成的位门,  如何求解就不是量子计算的内容了

幸运的是,  任意量子位门可以从单量子位门和控制位门组合得到,  而组合后位门的逆可以从组合前位门的逆组合得到:  (CBA)^-1 = A^-1 B^-1 C^-1

在单量子位门里,  I, H, X, Y, Z的逆都是自身,  S的逆为 SZ 或 ZS,  T的逆为TSZ或这三个门的任意顺序组合,  旋转门的逆就是逆着旋转的旋转门,  也就是Rx(θ)的逆是Rx(-θ),  其他3个类似.

控制位门的逆与里面的位门有关,  比如说CNOT里的位门是X门,  而X门的逆是它自身,  所以CNOT的逆也是CNOT自身.  如果有一个控制位门,  里面的位门为S门,  那么这个控制位门的逆为控制S门和控制Z门的组合,  当然前提是控制位和被控制位是相同的.

可逆逻辑门

逻辑门是电子计算机里的概念.  普通逻辑门, 如AND, XOR, OR,  输入的数据量比输出的数据量要大 [输入2bits, 输出1bit],  那么根据熵定理 [理论上熵是不一定增加, 还可以保持不变的],  这些逻辑门必定会发热.  如果存在逻辑门,  它的输入和输出的位数保持一致,  那么理论上这种逻辑门是可以做到不发热的.  并且因为熵不变,  所以是存在从输出逆推为输入的操作,  所以这种逻辑门又叫可逆逻辑门

在普通逻辑门里,  只有两个是可逆的,  NOT门和YES门 [所谓的YES门就是啥也不做].  第一个被拓展到可逆逻辑门的是XOR门,  可逆XOR门接收2bits, 输出2bits,  输出第1bit与输入第1bit一致,  XOR后的结果为输出第2bit:

不难发现,  把output扔进可逆XOR门后可以得出input,  另外,  可逆XOR门又叫CNOT门

现在拥有的可用可逆逻辑门有 NOT和XOR两个,  明显是不可以还原一般计算机的所有操作的,  于是提出了第3个可逆逻辑门:  可逆AND门

可逆AND门接收3bits, 输出3bits,  输出的第1第2bits与输入的第1第2bits一致,  当第1第2bits符合一般逻辑门AND的输出为1时,  则翻转第3bits的状态:

拥有NOT, XOR, AND之后就可以如同一般逻辑门一样计算了.  可逆AND门也叫CCNOT门,  是Toffoli提出的.

可以看到,  可逆的NOT, XOR, AND门与量子位门里的X, CNOT和CCNOT对应,  也就是说量子计算机可以与电子计算机做到相同的运算.  在电子计算机里,  位bit的状态只有0和1,  而量子位qubit可以同时处于|0❭和|1❭之间,  这种特性可以使得量子计算机同时计算所有可能的结果.  量子位的相位带来了干涉,  干涉可以使得需要的结果增长,  而不需要的结果消减,  量子之间的纠缠更是增强了这种效果