很水的数学分析107：有界闭集上的连续函数

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1.只需用开集就能刻画函数在一个集合上的连续性。

因开集本身就是用邻域描述的，连续仍然可以用邻域描述，因此连续可以被开集刻画。

并且证明过程正反两方向用“x₀∈f⁻¹(E)⇔f(x₀)∈E”及“A⊆f⁻¹(E)⇔f(A)⊆E”

（在此f⁻¹表示原像，是原像则可能是“分段”的或∅）

2.以后会用到的事实：定义点到集合的距离ρ(p,A)，ρ是Lipschitz连续的。

3.点列的Bolzano—Weierstrass定理。

范数不等式又来了，由它可以证明：点列有界⇨分量数列有界

因为第一分量数列有界，故可以从中抽取收敛子列，按同样序号选取第二个分量的子列，由于仍然有界，则可以从中抽取新的收敛子列，依次操作，最终得到一个序号，按此序号排列的点列就是符合条件的收敛子列。

4.定理2.16，定理2.17（极值定理），定理2.15（一致连续定理）跟一元证明方法相同。

5.例2.37：若lim(x→∞)f(x)存在且有限，则f在IRⁿ上一致连续。

先是选定“大球小球”，根据Cauchy收敛原理、一致收敛定理得知在一定条件下｜f(x₁)-f(x₂)｜＜ε，（一定条件：x₁、x₂都在“大球”内，或者都在“小球”外）

然后根据一致连续条件排除x₁、x₂一个在“小球”内，一个在“大球”外的可能，

从而得出结论。