很水的数学分析081：极限函数与和函数的连续性

（看评论的好处就是能看到提醒，这节的提醒是“勿忘主线”，主线就是78节后20分钟、79节前10分钟）

1.上节课收尾：两个例子表明Weierstrass判别法的局限。

例1.69：该函数项级数在某区间一致收敛（用Dirichlet判别法推得），但绝对值级数发散。

例1.70：该函数项级数在某区间一致收敛（用Dirichlet判别法推得），绝对值级数收敛，但绝对值级数不一致收敛。

2.极限函数的连续性。

①内容：若函数列fn在I上连续，则极限函数f在I上连续的一个充分条件是fn一致收敛于f。

②证明：三分法，分别用连续和一致收敛的ε—δ定义。

③一致连续不是必要条件。

④因为函数列和函数项级数相对应，所以立即推出：和函数的连续性。即要让Cauchy说的“若连续的函数项级数收敛，则和函数也连续”成立，一个充分条件是让这里的收敛是一致收敛。

3.极限函数逐项取极限定理。

①内容：把“2”里函数列fn连续削弱为函数列fn在一点x₀有极限，则结论跟“2”类似，极限函数也在x₀有极限。

②证明：三分法。

③因为函数列和函数项级数相对应，所以可以立即推出：和函数版逐项取极限定理。

4.推论1.5。

①开区间奇妙的拓扑性质推得，确保连续只需要内闭一致连续就够了。

②推论1.6，对应的函数项级数版。

例1.73。感受到了分析的一个魅力。「任取」，“既任意又固定”的感觉。M固定时[–M,M]是闭区间、有界，同时M还可以趋于无穷。之前有一个证明就是，明明ε是无穷小，但是每次ε固定，都算作上界。