【读书笔记】《导数的秘密》（1）用切线勾勒f(x)的形状

本系列是我读《导数的秘密》的读书笔记，也试图让没有读过此书的同学了解这本书的内容。 要求：掌握高中导数基础知识 本书1.1主要内容为高中导数的基本问题。这第一个问题就是“切线问题”。 【知识测验】 1.f(x)在x0处的切线方程是？ 2.“过”某点的切线与“在”某点的切线有何区别？ 3.f(x)与g(x)的公切线怎么求？ 【答案】 1.y-f(x0)＝f'(x0)(x-x0) 2.“在”点P处的切线如题1.点P是切点，相当于上式中的(x0,f(x0))，而“过”点P的切点中，P相当于满足上式的一组(x,y) 3.先分别设切点，写出切线方程，最后整理，比对系数。 【例题】2019年全国卷II（理）20.

(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点。 (2)设x0是f(x)的一个零点，求证：曲线y＝ln x在(x0,ln x0)处的切线也是曲线y＝eˣ的切线。 【新知】切线与不等式 1.有时利用不等式可以得到切线： 例题：求y＝x³在(1,1)处的切线 分析：可以找一个在取等条件为x＝1的不等式，（要求在1的附近成立） 解：考虑均值不等式：x³+1+1≥3x（x>0） 得x³≥3x-2（当且仅当x＝1取等） 所以曲线y＝x³在(1,1)处的切线为y＝3x-2. 2.利用切线可以得到不等式： 例题：求证

分析：这应该是最经典的“切线放缩”结论了。也是一个“高考生必背”的不等式。 解：可求出y＝ln x在(e,1)处的切线为y＝x/e 所以ln x≤x/e 这里的不等号方向取决于具体函数的凹凸性（二阶导的正负），这个问题我们在后文会提到。 另外，考虑一般情况，y＝ln x在(x0,ln x0)处的切线整理出来是这样：

取不同的x0值，实际上能得到一族的线性不等式。 切线不等式在竞赛当中也有用武之地，这里按下不表。对课内知识来说，不必掌握过多，明白这是一种函数放缩的办法即可。