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就 一位网友 棱台体积公式 微积分推导 具体过程 如下 供诸君参考

2022-08-27 11:14 作者:Mynasty  | 我要投稿



棱台

等高截面等积圆台

母线与对称轴所成角为θ

r/h=tanθ

r²/h²=tan²θ

πr²/h²=πtan²θ

S/h²=πtan²θ

(定值πtan²θ即这位网友所设常数k)

h=√S/(√πtanθ)

dh=1/(2√(πS)tanθ)dS

V

=

∫(h1,h2)Sdh

=

∫(S1,S2)S/(2√(πS)tanθ)dS

=

∫(S1,S2)√S/(2√πtanθ)dS

=

1/(2√πtanθ)∫(S1,S2)√SdS

=

1/(2√πtanθ)·2/3S^(3/2)|(S1,S2)

=

1/(3√πtanθ)(√S2³-√S1³)

=

(√S2-√S1)

(S1+S2+√(S1S2))

/

(3√πtanθ)

=

(h2-h1)

(S1+S2+√(S1S2))

/

3

=

H(S1+S2+√(S1S2))/3






ps.


抑或


(1)

S1/S2

=

h1²/h2²

S1/h1²=S2/h2²

S1/h1²=S2/h2²=k

S1=kh1²

S2=kh2²

S=kh



(2)

V

=

∫(h1,h2)Sdh

=

∫(h1,h2)πtan²θh²dh

=

πtan²θ∫(h1,h2)h²dh

=

πtan²θ/3·h³|(h1,h2)

=

πtan²θ(h2³-h1³)/3

=

πtan²θ(h2-h1)(h1²+h1h2+h2²)/3

=

πH(r1²+r1r2+r2²)/3

=

H(S1+√(S1S2)+S2)/3


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