【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep30】实数世界（六）
前天我们介绍了，正实数a的整数n次根的算术值的存在唯一性，即，正实数a的1/n次幂的存在唯一性，进而导出了，正实数a的有理数m/n次幂的存在唯一性。
而假如所求次数为无理数，我们可以用逼近的形式去求解所求根。
于是，昨天我们验证了，正实数a的任意实数次幂的存在唯一性。
今天，我们继续聊聊实数范围内的另一种运算，已知一个不是1的正实数a和它的幂，求这个幂是a的几次方；
比如说，3^2=9，所以9是3的2次方，所以我们要求的数值即为2；
——称之为，求以不是1的正数a为底数，任意正实数g的对数值；——
20对数
书中先指出了“以不是1的正数a为底数，任意正实数g的对数值"的存在，我们以a>1的情况为例，给出对数的定义——
接着按照对数为有理数和对数不是有理数两种情况讨论——
1.所求对数为有理数的定义——
如果我们能够找到一个有理数r满足a^r=g，那么r即为我们所求对数。
2.所求对数不是有理数的定义——
该定义用到了“有理数分划”这个工具——
取a^b<g的b为下组，取a^b'>g的b‘为上组，此处a>1，显然下组的任意数b小于上组的任意数a；
首先验证上组非空——
a.由阿基米德公理，我们能取得n>g/（a-1）；
b.由a，结合伯努利不等式，我们知道，a^n>1+n（a-1）>n（a-1）>[g/（a-1）]*（a-1）=g；
c.所以上组必然至少包含所有满足上述条件的n，非空；
注——
显然第a步n的取值是从第b步中推得的，这一步可以在草稿纸上进行；
伯努利不等式的作用就是将任何一个位于指数上的变量向分式转化，所以遇到指数上有变量的形式，伯努利不等式都是一个思考方向；
存在性命题我们只需要举出一个例子既可以证明结论，要证明非空，只要找出一个位于集合内的元素即可，用“构造法”；验证下组非空思路大同小异——
再验证下组非空——
a.由阿基米德公理，我们能取得n'>1/[g（a-1）]，即，1/n'<g（a-1）；
b.由a，结合伯努利不等式，我们知道，a^n'>1+n'（a-1）>n'（a-1），则1/（a^n'）<1/[n'（a-1）]<（1/n'）[1/（a-1）]<g（a-1）[1/（a-1）]=g，
c.所以下组必然至少包含所有满足上述条件的n'，非空；
对实数a>1，它的任意有理数次幂都是存在的，且g不是a的任意有理数次幂，所以根据排中律，对于a的任意有理次幂，要么满足a^b<g，要么满足a^b'>g，故而这个分组的取值覆盖了所有有理数；
由1、2、3、4，我们得到一个有理数分划，下组包含所有b，上组包含所有b'，于是我们得到界数u，那么由有理数分划定义，b和b'可以无限靠近；
由1，我们知道a^b<a^u<a^b'，由5，b和b’无限靠近，对于任意小正数e，我们可以得出a^b'-a^b<e——（昨天的文章里面由详细地证明，用到了伯努利不等式），即a^b与a^b'之间的取值是唯一的，即为g=a^u；
所以，我们要求的对数就是上述有理数分划确定的实数u，记作u=loga g。
我们由此给出了，以大于1的正实数a为底数，任意正实数g的对数在实数范围内的定义。
而对于0<a<1的情况下，1/a>1，所以1/a的对数都是可以按照上述方法定义的，我们只需要取一次相反数即可，因为对于任意实数u，a^u=（1/a）^（-u）。
明天给实数论简单收个尾，下周进入“极限论”！
