用微分方程来推导开普勒三定律

hello,大家好！

早在高中物理的必修课程中，我们就学过了开普勒三定律，它是行星运动的三条定律：

①椭圆定律：行星运动的轨迹是椭圆，且恒星处于椭圆的一个焦点上；

②面积定律：行星与恒星的连线在相同时间内扫过相同的面积；

③调和定律：行星轨迹的半长轴立方与行星公转周期平方的比为定值。

今天，我们就来用微分方程来推导这三条定律吧。

在此之前先明确几点：

①认为恒星静止不动，不受行星引力的影响

②只研究一个行星的运动，且该行星仅受恒星的引力影响

③不考虑相对论，只使用经典力学的观点

ok!开始吧！

首先，以恒星为原点建立平面直角坐标系。设  时刻行星的坐标为  ，其中  与  都是关于时间  的函数；引力常数为 ，恒星质量为 ，行星质量为  。

将引力分解到  方向与  方向，根据牛顿第二定律有：

 方向：

 方向：

（注意引力的方向，要添个负号）

加速度是位移的二阶导数，因此有：

（注意复合函数求导）

可将括号内的式子看作整体

记 ，

可得：

解得：

 ①， ②

先研究 ② 式，分离变量，得到：

 即 

两边积分，得到：

这个式子很重要，我们记为(*)式。将(*)式代入 ① 式得到：

这是一个不含一阶导数的式子，我们有一种常用的降次方法：两边同时乘 。得到：

即

积分得：

将  分离出来，再结合(*)式替换掉  得到：

我们终于得到了关于  和  的微分方程:

解之得：

不妨取 ,整理得：

令，

得到：

这是圆锥曲线的极坐标方程，另外行星运动的轨迹应是封闭的，于是行星的运动轨迹为椭圆，且恒星位于坐标原点，也就是椭圆的一个焦点，这便是开普勒第一定律。

回到(*)式，由极坐标面积公式，任意  时间内，行星与恒星的连线扫过的面积

    

这表明任意  时间内行星与恒星连线扫过的面积为定值，这便是开普勒第二定律。

而一个周期内，连线扫过的面积是整个椭圆的面积 ，再结合轨迹方程有：

，

可得 

即半长轴立方与周期平方之比为定值，这便是开普勒第三定律。

至此我们就证明了开普勒三定律！

进一步观察行星运动轨迹的方程，它包含了所有二次曲线。也就是说，只要某个天体的速度合适，它的离心率  就足够大，只要大于等于 ，它就能脱离恒星引力的束缚，逃逸出去，这也为航空航天奠定了理论基础。

好了，就玩这么多，感谢大家收看！

拜拜～～