【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。 

第三章光学器件

【山话||  本系列专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳；热量的单位卡路里等于4.186焦耳；电荷的单位静库（1库伦=3×10⁹静库）；电势的单位静伏等于300伏特。另外这套老教材中力的单位常用公斤、克等，但如今是不允许的，力是不能使用质量单位的。】

§3-4球面镜成象的公式

【01】除了用实验方法、作图方法来讨论球面镜成象的各种情况以外，还可以通过数学公式来计算成象的性质、大小和位置等。

【02】下面先推导出凹镜和凸镜的成象公式，再讨论它们的计算方法和具体的应用。

【03】图3·23是物体 AB 在凹镜前成实象的情况。用 u 表示物体 AB 到顶点 O 的距离（简称物距），用 v 表示物体的象 A'B' 到顶点 O 的距离（简称象距），用 f 表示焦点 F 到顶点 O 的距离（简称焦距）。

【04】在图3·23中，∵ △ABC∽△A'B'C，△PO'F∽△A'B'F；∴ ，；又 ∵ AB＝PO'，O'F ≈ OF；∴   。

【05】用符号 u、v、f 代入得 BC＝2f－u，B'C＝v－2f，OF＝f，B'F＝v－f；即得 ，化简后 vf ＋uf＝uv，用 uvf 除等式两边得到公式 

【06】如果是物体在凹镜中成虚象，这时情况如图3·24所示。∵ △POF∽△A'B'F，△ABC∽△A'B'C；∴ ，；又 ∵ AB＝PO'，O'F≈OF，∴   。

【07】用符号 u、v、f 代入得 OF＝f，B'F＝v＋f，BC＝2f－u，B'C＝v＋2f；即得，化简后 fv－fu＝uv，用 uvf 除等式两边得 

【08】如果是物体在凸镜中成象（如图3·25所示），同样有 △ABC∽△A'B'C 和 △PO'F∽△A'B'F；∴ ，； ∵ AB＝PO'，O'F ≈ OF；   。

【09】同样用符号 u、v、f 代入上式得 BC＝u＋2f，B'C＝2f－v，OF＝f，B'F＝f－v；即得，化简后得 fv－fu＝－uv，用 uvf 除等式两边得

【10】现在我们把物体在球面镜中成象的这几种情况加以比较，以便得出一个统一的公式。如果统一地把成实象时的象距心看成正值，成虚象时的象距 v 看成是负值，那么，在凹镜成虚象的公式(2)中以 v 代替－v，得出的结果便与(1)式相同；在凸镜成虚象的情况下，由于凸镜的焦距是虚焦距，虚焦距也看成是负值，在(3)式中分别以 f 代替－f，v 代替－v，那么，所得出的结果也和(1)式相同。即   。

【11】所以我们把这个公式看成是球面镜成象的普遍公式，对于凹镜来说，f 是正值，对于凸镜来说，f 是负值；成实象时，v 是正值，成虚象时，v 是负值，这里 u 都是正值。

【12】根据这个成象公式，只要知道物距 u、焦距 f，就可以求出象距 v 来，从而知道象的位置和性质。（v 是正值的时候，说明象是实象；v 是负值的时候，说明象是虚象）根据上面所得出的成象公式，物距 u、象距 v 和焦距 f 这三个量中，只要知道其中任意两个量，就可以求出第三个量来。

例2.有一个凹镜，半径是 16 厘米，物体放在凹镜前 20 厘米的地方，求所成象的性质和位置。

【解】

        根据题意，已知半径 R，也就间接知道了凹镜的焦距 f（因为焦距是半径的一半），又知物距 u，于是可从成象公式中算出 v 来，从而知道象的性质和位置。

        已知：u＝20厘米，R＝16厘米，则厘米；代入公式  ，，v＝13.3厘米。

        从计算所得的结果知道：象的位置是在距离凹镜顶点 13.3 厘米的地方，象距 v 是正值，说明象是实象，所以它一定是倒立的，和物体同在镜面的一侧。从已知条件 u＞R 来看，这个结果也是合理的。

例3.有一个物体放在离开球面镜的顶点 R/4 的地方，R 是球面镜的半径，这时在镜面的另一侧离开顶点 10 厘米的地方，成一正立、缩小的象，问这个球面镜是凸镜还是凹镜？为什么？这个球面镜的焦距又是多大？

【解】

        根据题意，已知物距 u 和象距 v，要求出 f 和判断镜是凸镜还是凹镜。由于题意没有直接说明象是实象还是虚象，所以不能直接看出象距 v 是正值还是负值；由于不知道球面镜是凸镜还是凹镜，所以也就不知道焦距 f 的正负，这样，直接代入成象公式中去计算是有困难的，所以在具体计算以前，应该根据题意判断出象的性质和镜的种类，然后再计算焦距。

        因为物体离开顶点的距离是 R/4，而焦点离开球面镜顶点的距离总是 R/2，所以知道物体是放在球面镜的焦点以内的，同时根据成的象是正立的，可以判断出这个象是虚象；又因为这个象是缩小的虚象，可以断定这个球面镜是凸镜而不是凹镜。（凹镜所成的虚象总比原物大，只有凸镜所成的虚象才比原物小）

        已知：u＝R/4，v＝－10厘米，f＝－R/2；代入成象公式 ，即   ，  ，，R＝60；厘米。

从计算的结果知道，这个凸镜的焦距是30厘米。

习题3-4

1、用直尺和量角器，完成下列各光路图：

(1)求发光点 A 在平面镜中所成的象（附图(a)）。

(2)求凹镜主轴上发光点 A 的象（附图(b)）。

(3)求凹镜所成的物体的象（附图(c)）。

(4)求凹镜主轴上（焦点以内）发光点 A 的象（附图(d)）。

(5)求凸镜主轴上发光点 A 的象（附图(e)）。

2、试用直尺完成下列各光路图：

(1)求凹镜所成物体的象（附图(a)）。

(2)求凹镜所成物体的象（附图(b)）。

(3)求凹镜所成物体的象（附图(c)）。

(4)从焦点 F 发出的光束，经凹镜反射后的光路（附图(d)）

(5)求凸镜所成物体的象（附图(e)）。

(6)会聚于焦点 F 的会聚光束经凸镜反射以后的光路（附图(f)）。

3、附图中A是一个发光点，A' 是 A 经球面镜反射以后所成的象，横线是这个球面镜的主轴，试判断这个球面镜是凹镜还是凸镜？为什么？并通过作图求出镜的顶点、球心和焦点的位置。

4、人站在平面镜的前面，如果人向着镜面移近 1 米，这时候人跟平面镜中所成的象的距离将比原来近多少？为什么？

5、在墙上挂着一个 1 米高的平面镜，人站在离平面镜 2 米远的地方，如果人的头部位置保持不动，那么，他在镜子里能够看见自已后面离镜子 4 米远的墙壁上多高一段范围？

6、有一个凹镜半径是 50 厘米，平行光束沿着与主轴平行的方向射到这个凹镜上来，问这束光线反射以后相交在距离镜面多远的地方？【25厘米】

7、有一个凹镜半径是 40 厘米，物体放在距离镜面 30 厘米的地方，问象应当成在什么位置？象是实象还是虚象？是正立的象还是倒立的象？【v=60厘米，倒立的实象】

8、把物体分别放在凹镜的 2f 和 3f 的地方，象应当各成在什么位置？【v=2f，v=3f/2】

9、凸镜的焦距也可以用下面的方法来测定：以宽度为 a 的平行光束，射到凸镜上，经反射以后变成为发散光束，又投射到距离凸镜为 l 的墙上，这时光束的宽度为 b，试证明：  。

10、一个物体放在离开球面镜 20 厘米远的地方，这时在镜面的另一侧离开顶点 10 厘米的地方，形成一个正立的、缩小的虚象，试判断这个球面镜是凸镜还是凹镜？焦距是多大？并作图验证。【凸镜，f=－20厘米】

11、一个物体放在球面镜前面 20 厘米的地方，所成的象跟物体在镜面的同一侧，距离镜面 40 厘米，试判断这个球面镜是凸镜还是凹镜？焦距是多大？并作图验证。如果所成的象是在镜面的另一侧，距离镜面也是 40 厘米，那么这个球面镜是凸镜还是凹镜？焦距又是多大？作图验证并且和前面的光路图相比较。【凹镜，f=13.3厘米；凹镜，f=40厘米】

12、物体放在距离凹镜 10 厘米远的地方，已知球心在物体以外 40 厘米远的地方，试用作图法求出象的位置，并用计算的结果来验证。【v=－16.7厘米】