穷竭（jié）法应用时一般按归谬法处理

牛顿263、穷竭（jié）法应用时一般按归谬法处理

 

2019-11-26 10:31，网友“钥匙玩校”发表一篇名为《穷竭法的首创者——欧多克索斯》的文章。

…穷、竭、穷竭，法，穷竭法：见《牛顿245》…

…欧多克索斯：见《牛顿251~259》…

文章内容：…

 

穷竭法

 

穷竭法，有时被误译为“穷举法”，是一种求图形面积的方法，其通过构造一个内接多边形序列，使这些多边形的面积收敛（liǎn）到所求图形面积。

…面、积、面积：见《牛顿261》…

…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…

（…《欧几里得》：小说名…）

…收、敛、收敛：见《牛顿215》…

 

如果这个多边形序列构造得当，那么其第n项的面积与所求图形面积之差，在n足够大时便可以小于任意给定正数。

因为这个面积差可以任意小。

是故该图形面积的可能值 便系统性的 被该多边形序列中的成员的面积所给出的一系列下界“穷竭”掉了。

…系、统、系统：见《欧几里得37》…

…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

 

此法思想始自公元前5世纪的安蒂丰，虽然不很清楚他对此法理解到什么程度。

…思、想、思想：见《欧几里得154》…

…安蒂丰：见《牛顿246》…

 

数十年后，这个理论由欧多克索斯加以严格化，用以计算面积和体积。

…理、论、理论：见《欧几里得5》…

…严、格、严格：见《欧几里得125》…

…化：后缀。加在名词或形容词之后构成动词，表示转变成某种性质或状态：绿～。美～。恶～。电气～。机械～。水利～…见《欧几里得2》…

…计、算、计算：见《欧几里得157》…

…体、积、体积：见《牛顿253》…

 

“穷竭法”这个名称是由Grégoire de Saint-Vincent于1647年在其著作《求圆与圆锥曲线的面积》（Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni）中首次使用。

▲阿基米德用穷举法计算圆内的面积（图自维基）

 

穷竭法被看作微积分方法的先导。

解析几何与积分学在17世纪至19世纪的发展涵盖了穷竭法，所以此法不再被显式的运用。

…解析几何（坐标几何）：见《欧几里得36》…

…发、展、发展：见《伽利略21》…

（…《伽利略》：小说名…）

 

穷竭法在应用时一般须诉诸归谬（miù）法，后者是反证法的一种形式。

…应、用、应用：见《欧几里得181》…

…诉诸（百度百科）：本为古文言文用法，有借助的意思…

…诉诸（百度汉语）2：按某种方式办理…

…归、谬、归谬，法，归谬法：见《欧几里得76》…

…反、证、法、反证法：见《欧几里得72》…
…形、式、形式：见《欧几里得13》…

 

具体来说就是，为了求某图形面积，而将其与第二个图形（该图形可以作“穷竭”式的变形，而使其面积任意接近所求面积）来作比较。

证明过程牵涉到先假定所求面积大于第二图形的面积，并证明其伪；接下来假定所求面积小于第二图形的面积，并将其也证伪。

…证、明、证明：见《欧几里得6》…
…过、程、过程：见《欧几里得194》…

 

“欧多克索斯一扫安蒂丰对割圆的朴素模糊甚至是错误的观念，而将穷竭法建立在无限分割潜在可能性的基础上。

请看下集《牛顿264、欧多克索斯将穷竭法建立在无限分割潜在可能性的基础上》”

 

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