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再保险案例研究目的是为业务中断索赔定价一些非比例再保险合同。考虑以下数据集，

1. >  db=read.xls(

2. + "PE.xls",

3. +  sheet=1)

4. Content type 'application/vnd.ms-excel' length 183808 bytes (179 Kb)

5. open URL

6. ==================================================

7. downloaded 179 Kb

至于任何（标准）保险合同，定价中有两个部分

• 预期的索赔数量

• 个人索赔的平均费用

在这里，我们没有协变量（但是可以使用某些变量，例如行业的种类，地理位置等）。

让我们从每年的预期索赔数开始。这是每天的频率

 

是很久以前的数据，但是，这也是一件好事，因为十年后，我们可以预期大多数索赔已经解决。为了绘制上面的图，我们使用

1. > date=db$DSUR

2. > D=as.Date(as.character(date),format="%Y%m%d")

3. > vD=seq(min(D),max(D),by=1)

4. > sD=table(D)

5. > d1=as.Date(names(sD))

6. > d2=vD[-which(vD%in%d1)]

7. > vecteur.date=c(d1,d2)

8. > vecteur.cpte=c(as.numeric(sD),rep(0,length(d2)))

9. > base=data.frame(date=vecteur.date,cpte=vecteur.cpte)

10. > plot(vecteur.date,vecteur.cpte,type="h",xlim=as.Date(as.character(

11. + c(19850101,20111231)),format="%Y%m%d"))

然后，我们可以使用（标准）Poisson回归来预测每日业务中断索赔的数量，例如，在2010年的任何一天（假设我们必须在几年前对再保险合同进行定价）

2. > pred2010 =predict(regdate,newdata=nd2010,type="response")

3. > sum(pred2010)

4. [1] 159.4757

观察使用旧数据有弊端，因为如果我们按时进行回归（包括一些可能的趋势），我们将面临更多不确定性。

 

假设我们在给定的一年中平均有160项声明。

> plot(D,db$COUTSIN,type="h")

现在让我们集中讨论这些索赔的费用。我们的数据集中有2,400个索赔要求适合模型（或至少估计了再保险合同可能给我们造成的损失）。假设我们想为我们的大额索赔购买再保险合同。在16年的时间里，该可执行文件的费用应接近1500万。

1. > quantile(db$COUTSIN,1-32/2400)/1e6

2. 98.66667%

3. 15.34579

4. > abline(h=quantile(db$COUTSIN,1-32/2400),col="blue")

 

因此，考虑一些免赔额为1500万的再保险合同。让我们假设再保险公司同意这种免赔额，但承保范围为3500万。平均成本（为再保险公司）是E(g(X))

第一个想法是查看我们投资组合中的第一个成本，即该赔偿的经验平均值。

检查一些损失

1. > indemn(5)

2. [1] 0

3. > indemn(20)

4. [1] 5

5. > indemn(50)

6. [1] 35

现在，如果计算再保险公司在16年内的平均还款额，

1. > mean(indemn(db$COUTSIN/1e6))

2. [1] 0.1624292

因此，根据索赔，再保险公司将平均支付162,430。每年有160项索赔，纯保费应接近2600万

1. > mean(indemn(db$COUTSIN/1e6))*160

2. [1] 25.98867

（同样，对于3,500万份保险，平均每年应发生两次的某些索赔）。正如我们看到的，再保险的标准模型是帕累托分布（或更具体地说，是广义帕累托分布），

 

这里有三个参数

• 阈值

• （我们将其视为固定阈值，但会看到其对再保险定价的影响）

• 比例参数  

• 尾部指数 

策略是考虑一个低于我们免赔额的门槛，例如1200万。然后，假设损失超过1200万，我们就可以拟合广义Pareto分布，

1. > gpd.PL

2. xi         beta

3. 7.004147e-01 4.400115e+06

计算

 

在这里，鉴于索赔超过1200万，平均还款额接近600万

1. > E(15e6,50e6,gpd.PL[1],gpd.PL[2],12e6)

2. [1] 6058125

现在，我们必须考虑达到1200万的概率

1. > mean(db$COUTSIN>12e6)

2. [1] 0.02639296

因此，如果总结一下，我们每年平均有160项索赔

1. > p

2. [1] 159.4757

只有2.6％将超过1200万

1. > mean(db$COUTSIN>12e6)

2. [1] 0.02639296

因此，每年发生1200万以上的频率为4.2

1. > p*mean(db$COUTSIN>12e6)

2. [1] 4.209036

对于超过1200万的索赔，平均还款额为

1. > E(15e6,50e6,gpd.PL[1],gpd.PL[2],12e6)

2. [1] 6058125

因此，纯溢价应接近

1. > p*mean(db$COUTSIN>12e6)*E(15e6,50e6,gpd.PL[1],gpd.PL[2],12e6)

2. [1] 25498867

接近我们获得的经验值。实际上，也可以查看阈值参数的影响，很明显，中间值可以更改。

我们可以将纯溢价绘制为该阈值的函数，

1. > seuils=seq(1e6,15e6,by=1e6)

2. > plot(seuils,Vectorize(esp)(seuils),type="b",col="red")

 

对于较大的阈值，该值在24到26之间。同样，这是第一步，我们可以为更高的再保险层定价，例如可抵扣额为5000万的再保险合同（我们之前有低于该门槛的索赔的再保险合同），而承保额为5000万。拥有参数模型变得有趣，该模型应该比经验平均值更健壮。