先问一个问题，在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右平移三个单位，得到的点的坐标是什么？明显小学二年级都知道是（x+3，y）

那么我们把函数y=f（x）的图象向右平移三个单位，得到的解析式是什么呢？根据基本函数变换知识，明显答案是y=f（x-3）

    问题来了，同样是向右平移三个单位，为什么点的平移与函数图像的平移存在不同呢？

  我们先用两个具体函数y₁=x₁²与y₂=（x₂-3）²来研究一下这个问题。

如图，我们随便代几个点，当x₁=1时，y₁=1²=1，x₂=4时，y₂=（4-1）²=1²=1；当x₁=0时，y₁=0，x₂=3时，y₂=（3-3）²=0

有没有感受到什么？当x₂=x₁+3时，二者的函数值刚好相同，而（x₁+3，y）刚好是（x₁，y）向右平移后的点，将图象上的所有点都向右平移，结果就是整个图象向右平移，而在这个过程中，解析式中“x-3”的作用就是与点的变换中的“x+3”抵消掉，这样说未免有点抽象，于是我们可以把这个概念提炼出来。

定义：f⁻¹（x）为f（x）的“逆运算”，满足关系式f⁻¹（f（x））=x

如：若f（x）=x+3，∵（x+3）-3=x，∴f⁻¹（x）=x-3

这样我们就将上面抽象的概念赋予了具体的符号与运算。

  下面我们真正开始研究一般曲线的图象变换

  平面直角坐标系中的曲线都可以写成f（x，y）=0的形式，曲线上的任意一点都是方程f（x，y）=0的解， 方程f（x，y）=0的解都是曲线上的点。

  那么f（x，y）=0与f［a（x），b（y）］的图象有何联系呢？

 假设点（x，y）在f（x，y）=0的图象上，即f（x，y）=0，那么f（a（a⁻¹（x）），b（b⁻¹（y）））=f（x，y）=0，所以点（a⁻¹（x），b⁻¹（y））在方程f（a（x），b（y））=0的图象上

不难看出，f（a（x），b（y））=0的图象是由f（x，y）=0的图象经过a⁻¹（x），b⁻¹（y）所对应的几何变换得到的

有同学可能感到有点奇怪，为什么我上面的定义逆运算函数f⁻¹（x）跟反函数的符号一模一样。其实这两者是一个东西，下面我们给出证明

假设（x₀，y₀）是函数y=f（x）上的一点，则y₀=f（x₀），两边同时新定义的“逆运算”，则f⁻¹（y₀）=x₀，所以（y₀，x₀）在函数y=f⁻¹（x）上，这不就是反函数吗？

我们研究一下刚刚的y=x+3与y=x-3就会发现，其实他们两个也互为反函数，图象关于y=x对称

下面给出几种常见的点的几何变换对应的坐标变换

①左右平移a个单位，（x，y）→（x±a，y），左加右减。

②上下平移a个单位，（x，y）→（x，y

±a），上加下减。

③关于y轴对称，（x，y）→（-x，y）。

④关于x轴对称，（x，y）→（x，-y）。

⑤关于原点对称，（x，y）→（-x，-y）。

⑥绕原点逆时针旋转α角，（x，y）→（xcosα-ysinα，xsinα+ycosα）。

下面是函数图象变换所对应的解析式变换

①左右平移a个单位，y=f（x）→y=f（x±a），左减右加。

②上下平移a个单位，y=f（x）→y±a=f（x），上减下加。

③关于y轴对称，y=f（x）→y=f（-x）。

④关于X轴对称，y=f（x）→-y=f（x）（即y=-f（x），有没有觉得和偶函数一模一样）。

⑤关于原点对称，y=f（x）→-y=f（-x）（即y=-f（x），有没有觉得和奇函数一毛一样）。

⑥将y轴右半部分的图象沿y轴翻折，y=f（x）→y=f（|x|）。

⑦将图像在水平方向拉长a倍，y=f（x）→y=f（x/a）。

⑧绕原点逆时针旋转α角，y=f（x）→ycosα-xsinα=f（xcosα+ysinα）。

在实际问题中，往往还涉及以上变换的复合。例如f（-x+1）。 此类问题的原则是：先计算离X较远的，在计算离X较近的（先远后进）。

那么什么叫远近呢？先跟X进行运算算近，后跟X发生运算算远。例如f（-x+1）中， X先跟-1进行运算，然后再+1，因此它是由f（x）先向左平移一个单位，然后再沿y轴对称得到的。

也可以由复合函数角度来理解，令f（x）=-x，g（x）=x+1，则h（x）=-x+1=g（f（x）），h⁻¹（x）=f⁻¹（g⁻¹（x））【读者自证不难】，所以也是先向左平移，再对称

下面给道练习，f[-（2x+3）] 是由f（x）经过怎样的变换得到的

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答案：先沿y轴对称，再向左平移三个单位，最后将图像压缩到1/2倍

你答对了吗？

再看一下实际应用

原题等价于已知x₁+x₂=0，求f（x₁）+f（x₂）

将两边同时向左移1/2个单位，得到f（x）=-f（-x），故f（x）为奇函数，故选b

也可以像下面这么做

因为f（x-0.5）=-f（0.5-x）=-f（-（x-0.5））

所以f（x）为奇函数。

注意，此题容易有以下错解

因为f（x-0.5）=-f（0.5-x）=-f（-（x-0.5））

所以f（x-0.5）为奇函数，所以f（x）关于（-0.5,0）对称，故选a。

错因：f（x-0.5）中自变量为x，当你把x-0.5当成自变量时，f（x-0.5）其实和f（x）没有区别，所以得到的结果是f（x）为奇函数。

我们其实还可以用这个东西来弄个爱心桃（可以看看我8月发的专栏）

好了，本期到此结束，有问题可以私信或加Q1748475972，求赞૧(●´৺`●)૭