Reed-Muller 码-第三种构造方法 - 生成矩阵

这篇文章介绍 Reed-Muller 码的第三种构造方法，通过计算出生成矩阵来做编码。这个方法通过递推的方式来计算生成矩阵，可以看成是一种递推方法(Recursive).

（视频在：https://www.bilibili.com/video/BV1k14y1c7xG/）

 Reed-Muller 码是记为 R(r,m)，对应的生成矩阵，记为 G(r,m)，则计算生成矩阵的递推公式为：

公式 (1) 中的递推的结束条件是有两种，一个是碰到 R(r=m,m) 的生成矩阵 G(r=m,m)，另外一个是碰到 R(0,m) 的生成矩阵 G(0,m).

在前面的文章中我们分析过，R(m,m) 这个编码器，其输入的比特数量等于输出的比特数量，都是 ，所以相当于没有编码，那么，没有编码的 "编码器"，其对应的生成矩阵就是一个单位矩阵，维度是

一个长度为 的输入向量，乘以 G(m,m)，得到的还是输入的向量。



而对于 R(0,m) 这个编码器，是输入一个符号，输出重复的 个符号，则其生成矩阵为一个全 1 的行向量，长度为

输入比特 0，乘以 G(0,m)  得到一个全 0 的长度为 的序列；输入比特 1， 乘以 G(0,m)  得到一个全 1 的长度为 的序列，所以这是一个重复码。



我们下面举个例子来说明这个过程，我们以 R(2,4) 为例子，这样可以与前面文章（本系列文章的第二个：第二种构造方法）中得到的生成矩阵做对比。

根据 (1) 的递推，我们有：

继续递推公式 (2) :

以及

再继续递推公式 (3) (4)

公式 (5) 中的:

以及：


把公式 (6) (7) 代入公式 (5) 有：
公式 (4) 中的

把公式 (8) (9) 代入公式 (4) 有：

公式 (3)  中的:
把公式 (11) 和公式 (10) 代入公式 (3)有：

把公式 (12)(10) 代入公式 (2) :

在前面的文章中，我们通过第二种构造方法也得出了一个生成矩阵，如下：

表面上看 (13) 与 (14) 的结果不同，但是，其实都是 16 维空间中 的 11 维子空间中的基，只是选取的基不同。 (13) 式可以通过适当的行变换，得到 (14).

我们把公式 (13) 中矩阵的各个行，记为 [1] [2],...., [11]，则 (14) 的矩阵就是：

所以，这两个生成矩阵是等价的，虽然输入相同的数据，得到的是不同的输出，但是，他们在性能上，结构上是完全等价的。