【高等数学第20讲】渐近线与函数图像的描绘

第二十章 渐近线与函数图像的描绘

一、知识点

1. 导数应用内容梳理：
   

   00:22

   
2. 理论基础：中值定理——研究f与f'的关系
3. 利用导数研究函数形态——描绘函数图像
4. 单调性与极值
5. 凹凸性与拐点
6. 渐近线
7. 其他：弧微分和曲率、方程的根(函数的零点)、不等式证明
8. 渐近线：
9. 定义：
   

   06:59

   
10. 动点沿曲线移向无穷远，该点与某定直线L的举例趋向于0，直线L就称为曲线y=f(x)的一条渐近线
11. 分类：
12. 水平渐近线：
    

    10:40

    
13. 一个函数的水平渐近线最多有2条
14. 铅直渐近线（垂直渐进线）：
    

    16:19

    
15. 只要有一侧是无穷大，它就是铅直渐近线
16. x=x0是某函数的一条铅直渐近线，x0一般是无定义点，但不一定是
17. 反例：
    

    20:52

    
18. x=x0是某函数的一条铅直渐近线，x0一般是无穷间断点，但不一定是（间断点存在在邻域中）
19. 反例：
    

    22:41

    
20. x=0是y=linx的铅直渐近线，但x=0不是y=linx的无穷间断点
21. 斜渐近线：
    

    26:20

    
22. 

    28:08

    
    ：对y=f(x)，如果lim(x->∞)[f(x)-(ax+b)]=0，则y=ax+b为y=f(x)的斜渐近线(a不等于0)。其中a=lim(x->∞)[f(x)/x]，b=lim(x->∞)[f(x)-ax]
23. 

    33:05

    
    ：在同一方向上，水平渐近线和斜渐近线不能共存。（注意听解释便于记忆）
24. 定性判断是否存在斜渐近线：
    

    35:00

    
25. 斜渐近线存在的必要条件，不满足充分性：
    

    38:39

    
26. 内容：f(x)与x为同阶无穷大
27. 为什么只是必要条件？——b有可能不存在
28. 反例：
    

    42:32

    
29. 求极限技巧：
30. 熟练运用等价无穷小代换：
    

    01:22:27

    
31. 提x：
    

    55:47

    
32. ln(1+e^x)=ln[(e^x)*(1+e^-x)]=lne^x+ln(1+e^-x)=x+ln(1+e^-x)
33. x=ln e^x =e^(lnx)

二、计算

1. 根据初等数学知识判断渐近线：
   

   44:02

   
2. 第一眼把它错看成圆了
3. 2017年数二求斜渐近线：
   

   48:08

   
4. 法一：常规方法
   

   48:13

   
5. 法二：
6. 思路：快速判断斜渐近线方法：
   

   50:35

   
7. 如果f(x)可以写成一个一次式加上一个无穷小量的形式，那么这个一次式就是函数f(x)的一条斜渐近线。
8. 解题：
   

   54:15

   
9. 2007年数1数2求渐近线数量：
   

   55:47

   
10. 注意步骤以及一些极限运算技巧
11. ln(1+e^x)=ln[(e^x)*(1+e^-x)]=lne^x+ln(1+e^-x)=x+ln(1+e^-x)
12. 做函数图像：
    

    01:06:13

    
    （做题步骤）
13. 步骤：
    

    01:07:26

    
14. 定义域优先
15. 求单调区间和极值（关注驻点和不可导点）
16. 求y''，求凹凸性和拐点
17. 求渐近线
18. 列表(x,y',y'',y)
19. 画图，先画渐近线