【数学基础134】常微分方程：史济怀老师视频微分方程相关内容总结（三）

史济怀老师视频课微分方程部分——

&2.一阶微分方程

&2.2齐次方程

齐次函数——函数P（x，y）满足P（tx，ty）=t^mP（x，y），称P（x，y）为x和y的m次齐次函数。

齐次方程——

定义一：形如dy/dx=f（x，y），等式右端的函数f（x，y）为它的变量x和y的零次齐次函数，即满足恒等式f（tx，ty）=f（x，y），则称这个方程为齐次方程。

易证明——dy/dx=f（x，y）=f（x*（1/y），y*（1/y））=f（x/y，1）=φ（x/y）。

定义二：形如dy/dx=φ（x/y）的微分方方程为齐次方程。

方法——变量替换法——令y=ux，u=y/x，是一个关于x的函数。

例子——解方程dy/dx=x+y/x-y。

1. 令y=ux，由dy/dx=（x+y）/（x-y）得到d（ux）/dx=（x+ux）/（x-ux）；

2. 由函数乘法求导法则知：u求导为u'=du/dx，x'=1；

3. 则左式=xu'+x'u=x（du/dx）+u，右式=（x+ux）/（x-ux）=（1+u）/（1-u）；

4. 左式=右式，即x（du/dx）+u=（1+u）/（1-u）——回归到变量分离的类型；

5. [（1-u）/（1+u^2）]du=（1/x）dx；

6. 两边积分得到，arctan u- ln[（1+u^2）^（1/2）]=ln |x|+C'；

7. 将u=y/x代入，arctan （y/x）- ln{[1+（y/x）^2]^（1/2）}=ln C'|x|；

8. 化简，arctan （y/x）= ln {[（x^2+y^2）/x^2]^（1/2）* C'|x|}= ln [C'（x^2+y^2）^（1/2）]，得到e^[arctan （y/x）]=C'（x^2+y^2）^（1/2）；

9. 令C=1/C'，得到Ce^[arctan （y/x）]=（x^2+y^2）^（1/2）；

10. 我们将这个结果写成参数方程的形式，Ce^θ=r，这个图线是著名的指数螺线，我们以后在解析几何的内容中会聊到如何分析图线的形状。

例子——解方程dy/dx=y/x+（x^2+y^2）^（1/2）/x

解：令y=ux，由dy/dx=y/x+（x^2+y^2）^（1/2）/x得到d（ux）/dx=ux/x+[x^2+（ux）^2]^（1/2）/x=u+（1+u^2）^（1/2）|x|/x——

a.当x>0时

1. d（ux）/dx=u+（1+u^2）^（1/2）；

2. u求导为u'=du/dx，x'=1；

3. 则由函数乘法求导法则知：左式=xu'+x'u=x（du/dx）+u=右式，即x（du/dx）+u=u+（1+u^2）^（1/2），即x（du/dx）=（1+u^2）^（1/2）——回归到变量分离的类型；

4. 将相同变量移到一侧：du/（1+u^2）^（1/2）=dx/x；

5. 两边积分得到，ln[u+（1+u^2）^（1/2）]=ln x+ln c；

6. 底数相等，u+（1+u^2）^（1/2）=cx；

7. 将u=y/x代入，左边=y/x+[1+（y/x）^2]^（1/2）=y/x+[（x^2+y^2）/x^2]^（1/2）=y/x+[（x^2+y^2）]^（1/2）/x=右边，即y/x+[（x^2+y^2）]^（1/2）/x=cx；

8. 解得方程：y+[（x^2+y^2）]^（1/2）=cx^2。——到这一步即可，记作A式。

   也可以化简得好看一些（手动狗头）：

9. 左右同时乘以y-[（x^2+y^2）]^（1/2）：左边=y^2-（x^2+y^2）=-x^2，右边=cx^2{y-[（x^2+y^2）]^（1/2）}；

10. 左边=右边：-x^2=cx^2{y-[（x^2+y^2）]^（1/2）}，即y-[（x^2+y^2）]^（1/2）=-1/c——记作B式；

11. 将A、B式相加得：2y=cx-1/c，即y=（cx-1/c）/2，即为所求解。

b.x<0时，结果一致。

可化为齐次方程/可分离变量的方程——这部分内容和同济内容大同小异

定理——形如dy/dx=（ax+by+c）/（a1x+b1y+c1）的微分方方程在c=c1=0时为齐次方程，当c和c1至少有一个不为0时，可以做相关变换，使其转化为齐次方程，令——

1. x=X+h，则dx=dX；

2. y=Y+k，则dy=dY；

3. 1、2中h和k是待定的常数，所以我们要列方程组，解出它们，这部分内容，涉及到了《线性代数》里的克莱姆法则。——我们由这个方程组解的有无，来判定，这种类型的微分方程，转化的方式。

过程——

1. ax+by+c=a（X+h）+b（Y+k）+c=aX+bY+ah+bk+c，a1x+b1y+c=a1（X+h）+b1（Y+k）+c=a1X+b1Y+a1h+b1k+c；
   

2. dY/dX=dy/dx=（ax+by+c）/（a1x+b1y+c1）=（aX+bY+ah+bk+c）/（a1X+b1Y+a1h+b1k+c）；

3. 因为2中方程应该满足齐次方程的形式，故而得到方程组ah+bk+c=0且a1h+b1k+c=0；

4. 由克莱姆法则，当行列式ab1-a1b不等于0的时候，方程组有解，我们解出对应的k与h，将原方程转化为dY/dX=（aX+bY）/（a1X+b1Y）即可；

5. 由克莱姆法则，当行列式ab1-a1b=0的时候，则a1/a=b1/b=l，将l代入原方程，得到dy/dx=（ax+by+c）/[l（ax+by）+c1]；

   我们令v=ax+by，则dy/dx=（v+c）/（lv+c1）；

6. 又可得dv/dx=a+b（dy/dx），即dy/dx=（dv/dx-a）/b——y是关于x的函数；

   则dy/dx=（dv/dx-a）/b=（v+c）/（lv+c1），即dv/[（bv+bc）/（lv+c1）+a]=dx，转化为一个可分离变量的微分方程。