为什么复合材料层压板设计中经常要求均衡性？

异日雪山封宝刀

敛于尘世莫招摇

两耳不闻窗外事

稳坐竹林抚琴箫

——君莫

航空航天领域常用的π/4层压板（由0°、90°、45°、-45°四种铺层角度组成的层压板）设计中，经常会提到均衡性设计约束条件。均衡性就是铺层序列中如果存在一个+θ角度的铺层，那么就必须得有一个-θ的铺层与之匹配，例如45°和-45°就是一对均衡铺层。

为什么要保持均衡性的约束条件，需要从最基本的复合材料力学原理去解释。对于单向层合板，在材料坐标系下的应力应变关系如下，其中Q为弹性矩阵：

或

注意上述应力应变关系中Q16和Q26两项均为0。对于一个包含多个铺层角度的层压板，其第k个铺层，在层合板坐标系下单层的应力应变关系为：

其中，Q'为偏轴弹性矩阵，由Q通过矩阵变换得到。

其展开形式可以表示为：

其中，

θ为铺层角度。这里需要注意的是，偏轴弹性矩阵系数Q11'、Q22'、Q66'、Q12'四项均为偶函数，+θ和-θ两个铺层对应的偏轴弹性系数相同，比如Q11'(+θ)=Q11'(-θ)。而Q16'和Q26'两项是奇函数，+θ和-θ两个铺层对应的这两个偏轴弹性系数刚好大小相等，符号相反，例如Q16'(+θ)=-Q16'(-θ)。

根据经典层合板理论，

先抛开B矩阵不管（以后再单独说B矩阵的事）。当一个层压板中+θ和-θ铺层数量相等时，即均衡铺层时，A16和A26正负值成对出现，中性面上的正应变εx0或εy0在+θ和-θ层引起的剪力Nxy大小相等、符号相反，互相抵消。也就是面内的正应变不会引起附加的剪切变形，不存在拉剪耦合效应。

作用在层压板上的力反之，如果一个层压板中+θ和-θ铺层数量不相等时，面内正应变引起的剪力无从抵消，层板在发生拉伸/压缩变形的同时，必然还有附加的剪切变形，即存在拉剪耦合效应，如下图所示。同样滴，当层压板中面有剪切变形γxy时，除了引起剪力Nxy之外，还会引起轴向力Nx、Ny，即存在剪拉耦合效应。

类似地，这类非均衡层压板，D16和D26正负值不是成对出现，当中面有曲率κx或κy时，除了会引起弯矩Mx、My之外，还有附加的扭矩Mxy，即存在弯扭耦合效应；当层压板中面有扭率κxy时，除了会引起扭矩之外，还会引起附加的弯矩，即层压板存在扭弯耦合效应。

作用在层压板上的力矩讲到这里，相信读者朋友们应该就明白了，保持层压板铺层的均衡性主要是避免这类由于非均衡性造成的拉剪、剪拉、弯扭、扭弯耦合效应，简化复合材料层压板的设计复杂度。但是在某些特殊结构设计中，也会特意去利用复合材料的这种可设计性将层压板设计成具有拉剪、剪拉、弯扭、扭弯耦合特点的结构，如飞机机翼的气动剪裁设计、旋翼叶片的设计等。

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