2.7 Green函数（二）

昨天的文章中我们详细的介绍了场算符在真空态（纯态）下的期望值。相应的Green函数适合描述温度为零时的系统。一个非零温度的系统不能由纯态描述而是要用混合态。混合态是指纯态的统计分布，对于有温度的系统我们需要统计所有的纯态下平均值的统计结果。

假设一个系统的温度为T，我们可以将这个态利用密度矩阵的形式表示也就是：

kB是Boltamann常数。\mu是化学势。

\Omega表示热力学势。一个任意算符A在此热态下的平均值为：

我们这里需要引入密度算符：

也满足归一化条件：

所以对于期望值的公式可以化简为：

现在我们就可以定义热Green函数，通过将真空态换成热态：

假设化学势为零，则热Green函数具有以下的属性：

下面我们证明这点，首先根据Heisenberg运动方程：

则有：

另一个Green函数也有类似的计算过程。和之前的对比得到：

需要注意的是：

因为标量场的对易子是一个复数（根据产生湮灭算符的对易关系），并且因此它的统计和真空期望值是等价的。在相互作用理论中一般不会出现这种情况，此时(不等时）对易子变成一个算符。

我们可以利用上面热Green函数和零温Green函数的关系，我们将上面的表达式记为：

其中

写出热Green函数的Fourier变换：

其中

并且

进一步得到：

给出积分表示：

我们也可以获得其他Green函数。通过精确计算整个积分。我们可以得到（注意有一个指数函数的级数展开）：

也就是说，热格林函数可以写成相应的零温度格林函数的无限虚时间之和。

在自旋 1/2 的情况下，由于场是满足反对易关系的。由此写出：

注意不在是周期条件了。同时也可以获得一个虚时间的求和。如下：