【数学基础34】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 混合积：向量a与b的外积，再与向量c作内积，结果是一个数量，称为三向量依顺序a，b，c的混合积，记为（a，b，c），即（a，b，c）=（axb）c；

2. 混合积性质：

   a.当a，b，c组成右手系时，（a，b，c）>0；

   b.当a，b，c组成左手系时，（a，b，c）<0；

3. 几何意义：（a，b，c）是以a，b，c为邻边的平行六面体的体积；

4. 性质：

   a.（a，a，c）=0；

   b.（a，b，c）=（b，c，a）=（c，a，b）=-（b，a，c）=-（c，b，a）=-（a，c，b）；

   c.（a1+a2，b，c）=（a1，b，c）+（a2，b，c）；

   d.（λa，b，c）=λ（a，b，c）（λ是实数）。

5. 矩阵乘法运算律——
   

   a.结合律：（AB）C=A（BC）

   b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

   c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

   d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A

   e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

   f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。

6. 矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。

7. 矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；

8. 设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

9. A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）

10. E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
    

    方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A

    方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）

11. 矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。

12. 定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反对称矩阵。

13. 定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。

14. 矩阵转置运算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

参考资料：

1. 《数学分析习题演练》（周民强 编著）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）

数学分析——

例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——

试证明数列{an}不收敛：an=b（an+1/an）（a1>0，b>1）.

证：反证法——

1. 如果lim an=a，则lim an=lim b（an+1/an），即a=b（a+1/a）；

2. 由1：a^2=b/（1-b）<0，导出矛盾，证毕。

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

设a，b，c为三个不共面的向量，求任意向量d关于a，b，c的分解式d=xa+yb+zc中的诸系数x，y，z.

解：

1. 先求x，（d，b，c）=（xa+yb+zc，b，c）=x（a，b，c），x=（d，b，c）/（a，b，c）；

2. 同理，y=（a，d，c）/（a，b，c），z=（a，b，d）/（a，b，c）.

高等代数——

例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——

如果n级矩阵B满足B^3=0，求（E-B）（E+B+B^2）.

解：（E-B）（E+B+B^2）=（E+B+B^2）-（B+B^2+B^3）=E-B^3=E-0=E.

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