A-3-5简谐振动(2/2)

2023-08-31 15:57 作者:夏莉家的鲁鲁 0人读过 | 我要投稿

3.5.4 弹簧双振子

当一根弹簧两侧同时固定物体，两物体同时振动时，对应的振动周期与一个振子略有不同。此时在质心系中分析，更加简单。

我们只考虑水平面光滑的情况，则质心系为惯性参考系。在质心系中，质心C位置不变，可以看固定在C点的两个弹簧振子同时发生振动，容易证明，两振子振动周期相等。假设弹簧原长为l，劲度系数为k，两段弹簧原长分别为

$l_1%3D%5Cdfrac%7Bm_2%7D%7Bm_1%2Bm_2%7Dl%2Cl_2%3D%5Cdfrac%7Bm_1%7D%7Bm_1%2Bm_2%7Dl$

对应劲度系数

$k_1%3D%5Cdfrac%7Bm_1%2Bm_2%7D%7Bm_2%7Dk%2Ck_2%3D%5Cdfrac%7Bm_1%2Bm_2%7D%7Bm_1%7Dk$

由于

$%5Cdfrac%7Bm_1%7D%7Bk_1%7D%3D%5Cdfrac%7Bm_2%7D%7Bk_2%7D%3D%5Cdfrac%7Bm_1m_2%7D%7B(m_1%2Bm_2)k%7D$

二者周期相等，而且我们发现，可以用约化质量 $%5Cmu%3D%5Cdfrac%7Bm_1m_2%7D%7Bm_1%2Bm_2%7D$ 来直接求解周期。

我们把后续物体的运动，分解为质心的匀速直线运动+物体相对质心的振动即可，容易写出相应的运动方程。

例6.质量分别为M和3M的两个小车用劲度系数为k的轻弹簧相连，它们无外力地静止在光滑水平桌面上。沿连接两车的弹簧朝重车方向推轻车，使轻车具有速度 $v_0$ ，（1）求经过多少时间后轻车速度又变为初速度值。（2）求在这段时间内轻车的位移。

解：（1）由上述结论易得两小车振动周期

$T%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7BM%5Ccdot%203M%7D%7B(M%2B3M)k%7D%7D%20%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B3M%7D%7B4k%7D%7D$
质心速度

$v_c%3D%5Cdfrac%7BMv_0%7D%7BM%2B3M%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_0%7D%7B4%7D$
轻车刚开始在平衡位置，在质心系中，初速

$v_%7B10%7D%3Dv_0-v_c%3D%5Cdfrac%7B3%7D%7B4%7Dv_0$
质心系中运动方程

$v_%7B1c%7D%3D%5Cdfrac%7B3v_0%7D%7B4%7D%5Ccos(%5Comega%20t)$
地面系中

$v_1%3D%5Cdfrac%7B3v_0%7D%7B4%7D%5Ccos(%5Comega%20t)%2B%5Cdfrac%7Bv_0%7D%7B4%7D$
可知，至少经过一个周期 $t%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B3M%7D%7B4k%7D%7D$ ，轻车速度变为初始值。

（2）这段时间内，轻车相对质心位移为0，质心位移

$x_c%3Dv_ct%3D%5Cdfrac%7B%5Cpi%20v_0%7D%7B2%7D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B3M%7D%7B4k%7D%7D$
即为轻车位移。

3.5.5 平衡位置

弹簧振子在光滑水平面上自由振动时，平衡位置在弹簧原长位置，当弹簧振子沿竖直方向自由振动时，竖直方向的重力改变了弹簧的平衡位置，但是回复力的表达式却没有变化，故周期也没有发生变化。

当振子受到的外力一定时，平衡位置不变。如果外力大小或者方向发生改变，则平衡位置也会发生改变，改变量

$%5CDelta%20x%3D%5Cdfrac%7BF%7D%7Bk%7D$

其中F为除了弹力之外的沿振动方向的力，k为弹簧的劲度系数。当外力改变时，弹簧的平衡位置相应的会发生改变。

例7.如图，粗糙水平面上有一弹簧振子，振子质量m=1kg，弹簧的劲度系数为k=100N/m，振子与水平面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为 $%5Cmu$ ， $%5Cmu$ 满足 $%5Cmu%20g%3D2m%2Fs%5E2$ .O为弹簧处于自然长度时振子所在的位置，今将振子自弹簧伸长量OA=7cm的A点由静止释放.求：（1）振子由图中的A点运动至最左端（设该点为B）所需的时间\Delta t=? （2）振子最后停在距O点多远的位置？以在O点右侧为正，单位为cm.

解：（1）水平的摩擦力不会改变振子周期，从A到B时间为半个周期

$t%3D%5Cdfrac%7BT%7D%7B2%7D%3D%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bk%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B10%7Ds$
（2）以O为坐标原点，最后停止时位移为x，易知，当

$k%7Cx%7C%5Cle%5Cmu%20mg$
即

$%7Cx%7C%5Cle%5Cdfrac%7B%5Cmu%20mg%7D%7Bk%7D%3D0.02m$
时，振子不再运动。对应区域为下图阴影区域。

由于摩擦力方向不断改变，振子的平衡位置也不断改变，改变量

$%5CDelta%20x%3D%5Cdfrac%7Bf%7D%7Bk%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Cmu%20mg%7D%7Bk%7D%3D0.02m$
平衡位置坐标分别为

$l_1%3D0.02m%2Cl_2%3D-0.02m$
刚开始最远距离

$x_1%3D0.07m$
平衡位置

$l_1%3D0.02m$
简谐运动振幅

$A_1%3Dx_1-l_1%3D0.05m$
故第二次最远位置位移

$x_2%3D2l_1-x_1%3D-0.03m$
到O点距离大于0.02m，继续运动，同理得第三次最远位置位移

$x_3%3D2l_2-x_2%3D-0.01m%3C0.02m$
振子不再运动，停在-0.01m.

上面问题中，如果我们考虑一般情况，初始位置为x_0，l=\dfrac{f}{k}，则每次静止的位置依次为

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20x_1%3D2l-x_0%5C%5C%20x_2%3D-2l-x_1%3D-4l%2Bx_0%5C%5C%20x_3%3D2l-x_2%3D6l-x_0%5C%5C%20%5Ccdots%20%5Cend%7Bcases%7D$

即

$x_n%3D(-1)%5En(x_0-2nl)$

当

$%7Cx_n%7C%5Cle%20l$

时，不再振动，可得振动次数满足

$%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D(%5Cdfrac%7Bx_0%7D%7Bl%7D-1)%5Cle%20n%5Cle%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D(%5Cdfrac%7Bx_0%7D%7Bl%7D%2B1)$

代入上题数据，

$%5Cdfrac%7B5%7D%7B4%7D%5Cle%20n%5Cle%20%5Cdfrac%7B9%7D%7B4%7D$

可以直接得到结果。

3.5.6 练习

练1.光滑的细杆组成夹角为 $%5Calpha$ 的人字形架，一根长度为l的轻线套在架子上，绳两端共系一个重球，如图所示，架竖直放置，试求重球在人字架平面内做小振动的周期。

答案： $2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bl%7D%7B2g%5Csin%5Calpha%7D%7D$

练2.如图所示的系统中，四根长度均为l的轻质刚性杆间用四只质量均为m的小球A、B、C、D绞接起来（即每根杆可相对于其所连的球发生转动而不可以与之分离）.另有一条自然长度为2l、劲度系数为 $k%3D%5Cdfrac%7B2%2B%5Csqrt2%7D%7Bl%7Dmg$ 的轻弹簧连接于B、D两球之间，今将A球悬挂于固定点上。求：（1）上述系统平衡时， $%5Cangle%20DAB$ 的值；（2）设上述系统处于平衡后受外界一微小扰动而使C球在竖直方向上发生振动，试求其振动周期。

答案： $%EF%BC%881%EF%BC%89%5Cpi%2F2%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89T%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B2l%7D%7B(3%2B2%5Csqrt2)g%7D%7D$

练3.如图所示，在光滑水平面上有三质点A，B，C，质量分别为 $m_1%EF%BC%8Cm_2%E5%92%8Cm_3$ ，三质点位于同一直线上，开始时B和C静止，用劲度系数为k的弹簧（质量忽略）相连.质点A以初速 $v_0$ 沿连线方向与B做弹性碰撞。以A和B的碰撞点为坐标原点，连线为x轴，试求碰后t时刻B的坐标 $x_2$ .