A-3-5简谐振动(1/2)

2023-08-31 15:58 作者:夏莉家的鲁鲁 0人读过 | 我要投稿

3.5.1 振动周期

物体简谐振动方程的一般形式为

$x%3DA%5Ccos(%5Comega%20t%2B%5Cvarphi)$

其中A为振幅， $%5Comega$ 为圆频率， $%5Cvarphi$ 为初相位， $%5Comega%20t%2B%5Cvarphi$ 为总相位。对上式求导，易得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cdot%20x%3D-%5Comega%20A%5Csin(%5Comega%20t%2B%5Cvarphi)%5C%5C%20%5Cddot%20x%3D-%5Comega%5E2%20A%5Ccos(%5Comega%20t%2B%5Cvarphi)%20%5Cend%7Bcases%7D$

其中 $%5Comega%20A$ 为最大速度， $%5Comega%5E2A$ 为最大加速度。由上面式子容易得到两个恒等式

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cddot%20x%3D-%5Comega%5E2x%5C%5C%20x%5E2%2B%5Cdfrac%7B%5Cdot%20x%5E2%7D%7B%5Comega%5E2%7D%3DA%5E2%20%5Cend%7Bcases%7D$

上面两个微分方程的解形式即为振动方程，由此可得判断简谐振动的两种方法。

回复力

由于

$F_%E5%90%88%3Dm%5Cddot%20x$

代入上面方程，得

$F_%E5%90%88%3D-m%5Comega%5E2x$

故只要将物体的指向平衡位置的合力写成

$F_%E5%9B%9E%3D-kx$

的形式，由对应系数相等，得

$%5Comega%5E2%3D%5Cdfrac%7Bk%7D%7Bm%7D$

故简谐振动周期

$T%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bk%7D%7D$

例1.如图，两个相同的圆柱状滚轮在同一水平面内平行放置，各绕自身的轴线按图示方向等角速度转动，两轴线间距离为2l.在两滚轮上平放一块重量为G的均匀木板，木板与滚轮之间的动摩擦因数和静摩擦因数均为 $%5Cmu$ ，若木板重心偏离两轴中心位置一个微小的距离，而使该木板发生周期性运动，求该运动周期。

解：木块对称在中间的位置为平衡位置，当木块向右偏移距离x时，两滚轮对木板的支持力分别为 $N_1%E3%80%81N_2$ ，摩擦力分别为 $f_1%E3%80%81f_2$ .支持力作用点到木板质心的距离分别为 $l%2Bx%E3%80%81l-x$ ，

由受力平衡和力矩平衡得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20N_1%2BN_2%3DG%5C%5C%20N_1(l%2Bx)%3DN_2(l-x)%20%5Cend%7Bcases%7D$
解得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20N_1%3D%5Cdfrac%7Bl-x%7D%7B2l%7DG%5C%5C%20N_2%3D%5Cdfrac%7Bl%2Bx%7D%7B2l%7DG%20%5Cend%7Bcases%7D$
故滑动摩擦力

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20f_1%3D%5Cdfrac%7Bl-x%7D%7B2l%7D%5Cmu%20G%5C%5C%20f_2%3D-%5Cdfrac%7Bl%2Bx%7D%7B2l%7D%5Cmu%20G%20%5Cend%7Bcases%7D$
木板所受水平合力

$F_%E5%90%88%3Df_1%2Bf_2%3D-%5Cdfrac%7B%5Cmu%20G%7D%7Bl%7Dx$
故周期

$T%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bml%7D%7B%5Cmu%20G%7D%7D%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bl%7D%7B%5Cmu%20g%7D%7D$

能量法

在机械能守恒时，我们可以将位移平方和位移导数的平方写成如下形式

$x%5E2%2B%5Cdfrac%7B%5Cdot%20x%5E2%7D%7B%5Comega%5E2%7D%3DA%5E2$

最常见的是弹簧振子中弹性势能与动能之和

$%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%5Cdot%20x%5E2%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dkx%5E2%3DE$

可以化简为

$x%5E2%2B%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bk%7D%5Cdot%20x%5E2%3D%5Cdfrac%7B2E%7D%7Bk%7D$

由对应系数相等，同样可得

$%5Comega%5E2%3D%5Cdfrac%7Bk%7D%7Bm%7D$

但是我们更习惯写成

$%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%5Cdot%20x%5E2%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dkx%5E2%3D%E5%B8%B8%E6%95%B0$

的形式，可以用两个系数的比值表示周期。一般右边的常数对应能量，所以我们也把这个方法称为能量法。

能量法一般用来处理不太好分析受力的，比较复杂的问题。

例2.一构件有质量均为m的三个同样小球组成，各球用长为l的轻杆铰链式连接（如图）。构件被劲度系数为k的竖直弹簧维持平衡位置且具有正方形。求下球小幅竖直振动的周期。

解：假设平衡时弹簧伸长量为 $l_0$ ，可以由虚功原理求出：

假设下方小球向下有一个虚位移 $%5Cdelta%20x$ ，则由几何关系，两侧小球向下有虚位移 $%5Cdelta%20x%2F2$ ，此时弹力做虚功

$W_T%3D-kl_0%5Cdelta%20x$
重力做虚功

$W_G%3Dmg%5Cdelta%20x%2B2%5Ctimes%20mg%5Cdfrac%7B%5Cdelta%20x%7D%7B2%7D$
总虚功为零，得

$kl_0%3D2mg$
当下方小球向下移动小位移为x时，由几何关系，两侧小球高度下降x/2.

下方小球此时速度 $%5Cdot%20x$ ，

由速度关联，两侧小球速度

$v%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt2%7D%7B2%7D%5Cdot%20x$
假设初始重力势能为0，由此可以写出整个系统各能量

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20E_k%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%5Cdot%20x%5E2%2B2%5Ctimes%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv%5E2%5C%5C%20E_%7Bp%E5%BC%B9%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dk(x%2Bl_0)%5E2%5C%5C%20E_%7Bp%E9%87%8D%7D%3D-mgx-2%5Ctimes%20mg%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$
由系统总机械能守恒

$E%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D2m%5Cdot%20x%5E2%20%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dkx%2B(kl_0-2mg)x%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dkl_0%5E2$
代入 $l_0$ ，上式可化为

$%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D2m%5Cdot%20x%5E2%20%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dkx%5E2%3D%E5%B8%B8%E6%95%B0$
故周期

$T%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B2m%7D%7Bk%7D%7D$
上面在写能量关系式的时候，会出现一次项 $(kl_0-2mg)x$ ，其实不需要求解 $l_0$ 也能得知，该项一定为0，不会影响后面周期的求解。

上面我们求解周期，都是假设的位移x，其实只要满足形式，x也可以换成角位移 $%5Ctheta$ ，同样可以求得周期。这样处理，在研究很多转动问题时会更方便。

例3.在天花板下用两根长度同为l的轻绳吊一质量为M的光滑匀质木板，板中央有一质量为m的小滑块，如图所示。开始时系统静止，然后使板有一个水平的横向小速度 $v_0$ ，试求振动周期。

解：假设轻绳转动小角度 $%5Ctheta$ ，则木板和滑块上升高度

$h%3Dl(1-%5Ccos%5Ctheta)%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dl%5Ctheta%5E2$
由于木板光滑，木块没有水平速度。木板向右运动的速度

$v_x%3Dl%5Cdot%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta%3Dl%5Cdot%5Ctheta$
由速度关联，木板和滑块竖直方向的速度为二阶小量

$v_y%3Dl%5Cdot%5Ctheta%5Csin%5Ctheta$
对应动能为四阶小量，故可以舍去。以平衡位置为重力势能零点，由此可得整个系统机械能

$E%3D(M%2Bm)gh%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7DMv_x%5E2$
化简为

$%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D(M%2Bm)gl%5Ctheta%5E2%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7DMl%5E2%5Cdot%5Ctheta%5E2%3DE$
故周期

$T%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7BMl%7D%7B(M%2Bm)g%7D%7D$

3.5.2 等效摆长

我们知道单摆的周期公式

$T%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bl%7D%7Bg%7D%7D$

在一些特殊的情景中，我们依然可以套用单摆公式，但是此时需要代入等效的摆长l和等效重力加速度g.

例4.如图，一块正三角形的刚性轻质薄板，边长为a，边AB两端悬挂于两固定点，AB与水平方向成 $%5Cvarphi$ 角，C点固定一质量为m质点。薄板通过A、B处的光滑铰链可以在垂直于板平面无摩擦摆动，求小摆动周期。

解：如图，分析可得C的运动轨迹为圆弧，圆弧半径为 $%5Cdfrac%7B%5Csqrt3%7D%7B2%7Da$ ，重力加速度沿着运动平面内的分量为 $g%5Ccos%5Cvarphi$ .

故此时等效摆长和等效重力加速度分别为

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20l'%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt3%7D%7B2%7Da%5C%5C%20g'%3Dg%5Ccos%5Cvarphi%20%5Cend%7Bcases%7D$
对应振动周期

$T%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B%5Csqrt3a%7D%7B2g%5Ccos%5Cvarphi%7D%7D$

3.5.3 运动时间

相位

上面我们已经介绍了振动周期的求解方法，有时候我们需要求解物体在两个位置之间运动的时间，令物体在两个位置 $x_1%E3%80%81x_2$ 对应的时间为 $t_1%E3%80%81t_2$ .

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20x_1%3DA%5Ccos(%5Comega%20t_1%2B%5Cvarphi)%5C%5C%20x_2%3DA%5Ccos(%5Comega%20t_2%2B%5Cvarphi)%5C%5C%20%5Cend%7Bcases%7D$

我们如果已知 $x_1%E3%80%81x_2%E3%80%81A%E3%80%81%5Comega$ ，则有

$t_2-t_1%3D%5Cdfrac%7B%5Carccos(%5Cdfrac%7Bx_2%7D%7BA%7D)-%5Carccos(%5Cdfrac%7Bx_1%7D%7BA%7D)%7D%7B%5Comega%7D$

需要注意的是，物体在同一个位置时，对应速度可能有2个方向，此时我们还需要联系具体速度，求解运动时间。

参考圆

除了上面利用运动方程的方法，我们还可以用参考圆来求解时间。我们知道，做匀速圆周运动的质点，在直径上投影的运动方程

$x%3DA%5Ccos(%5Comega%20t%2B%5Cvarphi)$

即为简谐运动，那么做简谐运动的物体，反过来可以跟匀速圆周运动的物体对应。周期相同，圆频率也相同。定义圆周运动为逆时针方向，图中，从 $x_1$ 到 $x_2$ 运动的时间，就等于从A到B做匀速圆周运动的时间。由几何关系求出对应的 $%5Cvarphi$ ，则

$t%3D%5Cdfrac%7B%5Cvarphi%7D%7B%5Comega%7D$

振动方程中的相位 $%5Comega%20t%2B%5Cvarphi$ ，其实就对应参考圆上的点对应的角度。

例5.一大容器中装有互不相溶的两种液体，它们的密度分别为 $%5Crho_1$ 和 $%5Crho_2(%5Crho_1%3C%5Crho_2)$ .现让一长为L、密度为 $1%2F2(%5Crho_1%2B%5Crho_2)$ 的均匀木棍，竖直地放在上面的液体内，其下端离两液体分界面距离为3/4L，由静止开始下落。试计算木棍达到最低点所需的时间。假定由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计，且两液体都足够深，保证木棍始终都能竖直地在液体内部运动，既未露出液面，也未与容器底相碰。

解：木棍下落的过程可以分为3段，完全在上方液体中，同时在两种液体中，完全在下方液体中。其中第二段过程为常见的简谐振动，我们先求振动的平衡位置和振动圆频率。

假设木棍静止时，有长为 $L_0$ 的部分在上方液体中，假设木棍截面积为S，此时木棍所受浮力等于重力

$%5Crho_1gSL_0%2B%5Crho_2gS(L-L_0)%3D%5Cdfrac%7B%5Crho_1%2B%5Crho_2%7D%7B2%7DgSL$
解得

$L_0%3D%5Cdfrac%7BL%7D%7B2%7D$
此为木棍的平衡位置。以竖直向下为正方向，木棍从平衡位置向下移动距离x时，上方液体浮力减小，下方液体浮力增大，易得木棍所受合力向上

$F_%E5%90%88%3D%5Crho_1gSx-%5Crho_2gSx%3D-(%5Crho_2-%5Crho_1)gSx$
为线性回复力，木棍做简谐振动，对应圆频率

$%5Comega%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bk%7D%7Bm%7D%7D%20%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B2(%5Crho_2-%5Crho_1)g%7D%7B(%5Crho_1%2B%5Crho_2)L%7D%7D$
刚开始，木棍完全在上方液体中，所受合力

$F_1%3D%5Cdfrac%7B%5Crho_1%2B%5Crho_2%7D%7B2%7DgSL-%5Crho_1gSL%20%3D%5Cdfrac%7B%5Crho_2-%5Crho_1%7D%7B2%7DgSL$
对应加速度

$a_1%3D%5Cdfrac%7BF_1%7D%7Bm%7D%20%3D%5Cdfrac%7B(%5Crho_2-%5Crho_1)%7D%7B(%5Crho_1%2B%5Crho_2)%7Dg$
所花时间

$t_1%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B2x%7D%7Ba_1%7D%7D%20%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B3(%5Crho_1%2B%5Crho_2)L%7D%7B2(%5Crho_2-%5Crho_1)g%7D%7D$
木棍下端刚接触分界面时速度

$v_1%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cdfrac%7B%5Crho_2-%5Crho_1%7D%7B%5Crho_1%2B%5Crho_2%7DgL%7D$
有

$%5Cdfrac%7Bv_1%5E2%7D%7B%5Comega%5E2%7D%20%3D%5Cdfrac%7B3%7D%7B4%7DL%5E2$
此时，木棍相对平衡位置的位移

$x_1%3D-%5Cdfrac%7BL%7D%7B2%7D$
由此可得木棍的振幅

$A%3D%5Csqrt%7Bx_1%5E2%2B%5Cdfrac%7Bv_1%5E2%7D%7B%5Comega%5E2%7D%7D%3DL$
当木棍位移

$x_2%3D%5Cdfrac%7BL%7D%7B2%7D$
时，木棍完全进入下方液体，由对称性，从 $x_1%E5%88%B0x_2$ 所花时间（也可以由参考圆求得）

$t_2%3D2%5Cdfrac%7B%5Carccos(%5Cdfrac%7Bx_2%7D%7BA%7D)-%5Carccos0%7D%7B%5Comega%7D%20%3D%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B(%5Crho_1%2B%5Crho_2)L%7D%7B2(%5Crho_2-%5Crho_1)g%7D%7D$
木棍在下方液体所受合力

$F_2%3D-%5Cdfrac%7B%5Crho_2-%5Crho_1%7D%7B2%7DgSL%3D-F_1$
故后续的运动与木棍进入下方液体之前对称，再运动\dfrac{L}{2}到达最低点。所花时间也与进入下方液体之前相等。木棍到最低点的总时间

$t%3D2t_1%2Bt_2%3D(2%5Csqrt3%2B%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D)%20%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B(%5Crho_1%2B%5Crho_2)L%7D%7B2(%5Crho_2-%5Crho_1)g%7D%7D$