证明积分中值定理：∫[a，b]f（x）dx=f（ξ）（b-a）

牛顿351、证明积分中值定理：∫[a，b]f（x）dx=f（ξ）（b-a）

 

2010-09-06，网友“ecionaeli”上传名为《定积分的性质》的文档。

…定，积、分、积分，定积分：见《牛顿337~350》…

…性、质、性质：见《欧几里得37》…

（…《欧几里得》：小说名…）

文档内容：… 

…内、容、内容：见《欧几里得66》…

 

二、定积分中值定理

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

 

如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使∫[a，b]f（x）dx=f（ξ）（b-a）。（a≤ξ≤b）

（↑积分中值公式）

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…连、续、连续：见《欧几里得44》…

…ξ：大写Ξ，小写ξ，是第十四个希腊字母，中文音译：克西。

小写ξ用于：数学上的随机变量…

证 ∵ m（b-a）≤f（x）≤M（b-a）

{定积分性质6、设M和m分别是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值及最小值，则

m（b-a）≤∫[a，b]f（x）d（x）≤M（b-a）。

证明见《牛顿350》。}

 

∴ m≤1/（b-a）∫[a，b]f（x）d（x）≤M [同时除以（b-a）]

 

由闭区间上连续函数的介值定理知，在区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使f（ξ）=1/（b-a）∫[a，b]f（x）d（x），即∫[a，b]f（x）dx=f（ξ）（b-a）。（a≤ξ≤b）

…介：在两者当中：～绍。媒～。这座山～于两县之间…见《欧几里得34》…

…值：见《欧几里得74》…

…介值定理（百度百科）：又名中间值定理，是闭区间上连续函数的性质之一。

 

在数学分析中，介值定理表明，如果定义域为[a，b]的连续函数f，那么在区间内的某个点，它可以在f（a）和f（b）之间取任何值。

（…数、学、数学，分、析、分析，数学分析：见《欧几里得49》…）

 

也就是说，介值定理是：在连续函数的一个区间内的函数值，肯定介于最大值和最小值之间…

…∫：积分符号，为为字母s的拉长…见《牛顿338》…

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英语）：n.（名词）差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差。

adj.（形容词）差别的；以差别而定的；有区别的。

——《牛顿321》

 

dx什么意思？？——网友提问

2019-09-07，想玩游戏的猫：d（x）代表对x求微分。

dy/dx 中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函数中是，微分的意思。

dx就是对x的微分，是把增量细微化，dx就是很小很小的一个x。

——《牛顿3》]

 

……

积分中值公式的几何解释：

…公：见《欧几里得1》…

…式、公式：见《欧几里得132》…

…几、何、几何：见《欧几里得28》…

…解、释、解释：见《欧几里得56》…

 

在区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使得以区间[a，b]为底边，以曲线y=f（x）为曲边的曲边梯形的面积，等于同一底边而高为f（ξ）的一个矩形的面积。

 “定积分的正式名称是黎曼积分。

用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a，b]上的矩形累加起来，所得到的，就是这个函数图象在区间[a，b]的面积。

请看下集《牛顿352、定积分的正式名称是黎曼积分》”

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