平平无奇的必要条件探路（2023全国甲导数）

（2023全国甲，21）易知，.

（1）当时，求的单调性；

（2）若，求的取值范围.

解：（1）求导，得

当时，，

令，得，

当，，；

当，，.

（2），

即，

即，

令，

注意到.

.

若，即，

则存在，

当，，，

则，不合题意.

故是原命题成立的必要条件.

下面证明：是原命题成立的充分条件.

若，

则，

故只需证.

令，则

故，

故，证毕.

综上所述：.