量子场论（十一）：时空中的粒子（二）
（2）质量为零的粒子：且
。
此时四维动量是类光的，取标准四维动量为，其中κ>0。相应小群中的任意群元满足
。
我们需要知道这个小群是啥，引入，易知这个四维矢量在小群变换下也不变。再引入类时四维矢量
，定义小群元对它的作用为
。从而：
考虑到，满足（10.26）的
的一般形式为：
另一方面，自己的内积为：
因此，因此：
考虑固有保时向洛伦兹变换：
在其作用之下：
也就是说：
也就是说，变换保持
不变，所以，它必然是一个空间旋转变换。容易验证
，因此
是一个小群变换。因而小群变换
是保持
不变的空间旋转变换，它必定是绕z轴的空间旋转变换，即满足：
于是，小群变换的一般形式为：
可以验证：
从而，
。因此
和
是小群的两个阿贝尔子群。进一步推出：
这意味着T(α,β)在任意小群元素的相似变换下变换到子群{T(α,β)}中的元素，这种情况下，数学上把{T(α,β)}称为小群的不变子群。全体坐标点(α,β)组成一个二维平面，（10.35）表明T(α,β)是平面上的平移变换，（10.36）和（10.37）表明是平面上的旋转变换。这些变换都保持二维欧几里得空间的线元
不变，因此由他们构成的小群是二维欧几里得空间的等距群ISO(2)。
现在讨论ISO(2)的生成元算符。ISO(2)变换的无穷小形式为，其中无穷小参数为：
容易验证，因此这样的无穷小变换导致
不变。反对称无穷小参数为：
即
相应的无穷小量子变换为：
其中生成元算符和
为：
由洛伦兹代数关系推知生成元算符、
和
的对易关系：
这与庞加莱代数关系
相同，毕竟、
和
生成了xy平面的ISO(2)群。
由（10.45）式知道这两个算符对易，因此具有共同本征态，本征值分别为a,b，满足：
小群ISO(2)的量子变换满足同态关系：
将上式展开到无穷小参数的第一阶：
由无穷小参数的任意性推出：
即
那么，态矢是
的共同本征态：
当a,b固定时，由于转动角θ取连续值，本征值acosθ+bsinθ和-asinθ+bcosθ也是连续的，因此，只要a和b不全为零，就有一系列连续的本征态，但是，我们没有观测到无质量粒子具有以转动角θ作为连续自由度的物理态。因此，自然界中的物理态是a=b=0的本征态，只由小群生成元算符
的本征值σ标记，记作
，满足：
对于单粒子态，
是自旋角动量算符。标准四维动量
的空间分量k沿着z轴方向，因而σ是自旋角动量在动量方向的投影本征值，称为螺旋度。
无穷小量子变换（10.41）表明：
由此求得：
由此求得一般的小群变换（10.34）为：
作用到单粒子态上，得到：
代入（10.11）式得：
另一方面，（10.9）式化为：
这个关系决定了θ依赖于和
的关系。根据（10.16）式，得到：
这个式子表明与经过量子洛伦兹变换之后的态
具有相同的σ，也就是说，量子洛伦兹变换不会混合具有不同螺旋度的无质量粒子态。这意味着，对无质量粒子来说，螺旋度σ是固有保时向洛伦兹变换的不变量，在所有惯性系中取值相同。因此，无质量粒子可根据螺旋度σ的值分类。
前面提到，固有保时向洛伦兹群是群空间是双连通的，与SO(3)的情况类似，群空间内从恒元出发、经过
和
再回到恒元的闭合曲线分为两类，一类能连续收缩成恒元一点，另一类不能。可以推出类似（10.23）式的关系：
对于无质量粒子，（10.61）式表明，相位因子±1起源于绕z轴转动角度θ=2π引起的因子，即：
这个条件限制了无质量粒子螺旋度的取值，要求：
σ为整数对应于的线性表示，σ为半奇数对应于
的双值表示。由于螺旋度是自旋角动量在动量方向上的投影，无质量粒子自旋量子数可取：
与有质量粒子的取值情况一样。
于是，自旋为 s 的无质量粒子具有 2 种自旋极化态，对应于两种螺旋度σ = ±s。如果没有额外的条件，可以把 s 相同而σ不同的两个无质量粒子当作不同的粒子对待。不过，额外的条件是存在的。宇称变换会改变 σ 的符号，而电磁相互作用、强相互作用和引力相互作用都保持宇称守恒，如果无质量粒子不具有破坏宇称的相互作用，则螺旋度相反的两种粒子具有相同的相互作用行为。从而，可以把它们当作同一种粒子的两种自由度。比如，作为电磁场的量子，光子是自旋为 1 的无质量粒子，具有-1和+1两种螺旋度，分别对应于真空电磁波的左旋圆极化和右旋圆极化。假想的引力子是自旋为2的无质量粒子，具有-2和+2两种螺旋度。在标准模型中，自旋为的中微子没有质量，参与破坏宇称的弱相互作用，因而可以把螺旋度相反的两种中微子当作两种粒子，螺旋度为
的是狭义的中微子，螺旋度为
的称为反中微子。
（3）真空：。
此时取，它在任意洛伦兹变换下不变，相应的小群是固有保时向洛伦兹群
。
