复杂分式代数式求值，有的同学感到很懵，静心思考还挺简单

题一、
已知x/(y+z)+y/(x+z)+z/(x+y)=1,
求(x²+x)/(y+z)+(y²+y)/(x+z)+(z²+z)/(x+y)

分析题目
分析题目，已知为三位分式代数式何为1，所求为三元分式代数式，只是分子变成了二次多项式，看似无从下手，不过我们拆分一下所求代数式的分子后发现，拆出来分子是一次项的凑到一起刚好是已知条件，那也就是要求分子式二次项的三个分式之和即可。如何构造二次项呢，那显然直接已知条件等号两边同时乘以三元何即可，据此分析我们来逐步整理求解，

首先，已知等号两边同时乘以X+Y+Z得到，
(x/(y+z)+y/(x+z)+z/(x+y))(x+y+z)=x+y+z

展开括号后得到，
x(x+y+z)/(y+z)+y(x+y+z)/(x+z)+z(x+y+z)/(x+y)=x+y+z

继续展开三个分式的分子，但注意我们只需要展开出来所需要的二次项即可，即得到，
(x²+x)(y+z)/(y+z)+(y²+y)(x+z)/(x+z)+(z²+z)(x+y)/(x+y)=x+y+z

此时我们很容易发现，再次拆分分子后，二次项凑到一起就是我们所需要的代数式，剩下的项次都可以与分母约分将分母直接约掉了，即得到，
x²/(y+z)+x+y²/(x+z)+y+z²/(x+y)+z=x+y+z

此时，等号两边刚好将X，Y，Z都抵消掉了，剩下来的就是我们所需要的代数式，即得到，
x²/(y+z)+y²/(x+z)+z²/(x+y)=0

则所求的代数式，
(x²+x)/(y+z)+(y²+y)/(x+z)+(z²+z)/(x+y)

直接拆分分子后，将二次项凑到一起，即得到，
x²/(y+z)+y²/(x+z)+z²/(x+y)

将一次项凑到一起，即得到，
x/(y+z)+y/(x+z)+z/(x+y)，

合起来即为：
x²/(y+z)+y²/(x+z)+z²/(x+y)+x/(y+z)+y/(x+z)+z/(x+y)

可以看出前三项分式的和是我们刚才求得的值为0，后三项分式的和是已知条件值为1，则最后算得
(x²+x)/(y+z)+(y²+y)/(x+z)+(z²+z)/(x+y)=1

参考答案