教科书中薛定谔方程为什么可以用分离变量法求解？

自学量子力学的人就喜欢问这个问题，原因就是对波的性质本身没有学好，基础不扎实。

我纯物理专业出身，但是在校期间都是在玩游戏，之前学到这的时候也是迷茫了很久。但是后来自学通信，突然就把这里搞懂了。

其实一点也不难。

首先所有的薛定谔方程的解都可以分离变量么？当然不是。可以分离变量的都是特解。所以用分离变量法解薛定谔方程得出来的都是特解。这些特解符合线性叠加原理，所以他们的线性组合也是薛定谔方程的解。

你可以去简单验证，只要对两个能量本征值不同的特解求和，就无法分离变量了。但是这个求和出来的解，依然会是薛定谔方程的解。

所以有了这些通过分离变量法求出的特解，可以线性组合出不可以分离变量的各种其他解。剩下的问题就是这些特解的线性组合是否完备了，换句话说，这些特解的组合可以构成所有可能的薛定谔方程的解么？

这就是通信专业学数学时擅长的工作了。对于周期性波函数（其实是包含束缚态和固体物理中遇到的周期性边界条件）大都可以进行傅里叶分解，分解出单频波，就是一个个的分离变量的解，也就是一个个的能量本征态，自然而然的就得出了量子力学需要的离散的答案。（这里说的大都可以分解，你可以认为就是所有函数了，或者是现实中可能存在的波函数。实变函数学科中遇到的那些奇葩的几乎处处不可导的函数，我就无法保证了）

对于非束缚态，无法傅里叶分解，但其实绝大多数函数还可以进行傅里叶变换，这时候其实也能构成解。但是这时候解是连续的，而且由于全空间积分为有限值，所以具体到一个点上，概率密度都为0，量子力学就不太关注而已。

在把初量搞懂的过程中，你就会发现，其实初等量子力学真的没啥东西，简单到很多人都不相信"所有懂量子力学的人都会感觉困惑”的初等量子力学就这么点内容。就是薛定谔方程加一些数学技巧。

那些数学技巧也大多不难，只是太杂，初量用的时候一般都不解释，而且那些有助于理解的通用数学语言，量子力学那是一概不用，虽然表示的是同样的意思，但是量子力学非要自己定义一套符号，所以让很多没啥基础的自学者感觉很难而已。

据说量子力学这么做的原因是当初创立量子力学的那帮物理学家都是一帮聪明的学渣，没学过这部分数学内容，所以自行创立了一套符号。但是后来人呢？后来人为啥不整理成通用数学语言，这其中很难说有不是人故意把这玩意弄得很玄而已。