受力分析综合思辨
1. 浮力的本质
我们来想象以下三个场景，分别是受到了什么力保持平衡的：
a. 手机，放在桌子上
b. 你，坐在沙发上
c. 木块，在水面上漂浮
答案很简单，前两者是重力与支持力，第三个是重力与浮力。
想想他们有没有共性呢？ 是形变。桌子有一个微小的形变，沙发有一个明显的形变，而水有一个较为特殊的形变。挤压导致形变，形变产生弹力，弹力充当了支持力/浮力的角色。
2. 形变
为什么桌子、沙发和水的形变有这么大区别？是什么物理量决定的？这其实涉及了比较高级的知识，比如固体材料的弹性模量，流体物理学等等。我们现在就感性的觉得，因为桌子硬，沙发软，水会流动，就好了。
3. 力的分类
我还是学生时，刚刚接触到力学的时候，有一阵经常有这样的疑问：
手机放在桌子上，重力自然不用多说，另外一个力是叫弹力还是叫支持力？弹力和支持力是什么关系？什么时候叫弹力，什么时候叫支持力？
现在我们清楚了，这两个力完全就是一个东西的两个名字。
“弹力”是从力的性质角度进行描述的，描述了力的由来：桌子受到手机的压力，分子变形，形成抗拒变形的力，宏观上表现为对手机的弹力。
“支持力”“浮力”是从力的效果角度进行描述的：这个力使得手机被支持了从而没掉下去，使木块被浮了而没沉底。
所以说，上述的问题完全是我们的语言在进行描述时，侧重点不同而产生的区别，而完全不是物理上物理量的区别。
4. 力之间的因果关系
还是手机放在桌子上的问题。我们先约定好，这次要讨论的系统包括地面。我们知道手机受重力和支持力，受力平衡。桌子受到手机的压力、自身重力，以及大小等于两者之和的地面支持力。其中，手机给桌子的压力与桌子给手机的支持力互为反作用力，大小等于手机所受重力。
现在试问：
a. 这组作用力与反作用力有因果关系吗？
b. 这组作用力与反作用力有时间先后顺序吗？
c. 手机受的重力，与手机给桌子的压力，有因果关系吗？
d. 手机受的重力，与手机给桌子的压力，有时间先后顺序吗？
我们先来考虑时间先后的问题。如果你已经学习过冲量的概念，就会轻易得出结论：作用力反作用力一定是同时诞生，同步变化的，否则这个系统的冲量就不守恒了。如果我们忽略桌子的微小的形变量，那么手机其实始终是平衡的，所以推断手机重力、对桌子压力、桌子对手机的支持力，三者是同时变化的。
现在我们解决了时间，接下来我们思考因果性。说起来你可能不信，这其实是个哲学问题。手机给了桌子压力，和桌子给了手机支持力，这两件事情，究竟是因果关系呢，还是并列关系呢。如果桌子有思想的话，他会如何觉得呢？是因为手机压了他，他才还击了支持力呢；还是他和手机有着神奇的默契，俩人一拍即合互相给力呢。我即将公布答案，无所谓。对的，其实是无所谓。你作为一个人，把他俩的关系解读成因果或是并列，和你的世界观有关系，但是和这个世界的运行规律没有关系。
说了这么久，结论是：力的变化是同时的，逻辑关系是无所谓的。我能猜到你现在的想法：这不是逗我玩嘛，无所谓你说这么久干嘛。我告诉你这一段的意义：实际在题目中做受力分析时，场景要比现在复杂的多：带电小球在电场加速冲出轨道进行平抛运动，以斜角进入磁场进行变向，某个点向心力不够了小球此时达到最高点。类似这种问题，在思考的过程中非常容易陷入混乱，混乱的一大原因就是分析中掺杂了多余的时间轴和多余的因果关系。这个时候，希望你能及时在脑中大喊一声“在这停顿”，把无关的因素屏蔽掉。
5. 力与运动状态的因果关系
这里要说的是一个平时经常用混的逻辑，那就是力决定运动状态的改变量，观测运动状态的改变量可以推断受力情况。
举个错误的例子：因为物体静止，所以受力平衡，所以支持力等于重力。正确的逻辑关系应该是：观测到物体静止，且当前参考系为惯性参考系，基于牛二律的结论，推断其处于受力平衡状态。由常识可知，其受重力，故推断其获得了一个等大反向的支持力。
注意到这里的区别了么，受力是因，平衡是果。正向决定，反向推断。那么现在有个问题，桌子凭什么这么智能，可以一瞬间衡量出手机的重力，从而提供一个等大方向的支持力，使得手机既没有弹起来，又没有陷下去呢？答案：桌子当然没这么智能，它是在一系列变化中稳定于平衡状态的，即使我们看起来就是一瞬间而已。为了把这个过程想明白，我们把这个“一瞬间”放大去思考。现在，我们把桌子的桌腿以外的部分的材料换成橡胶，把手机换成铅球，这个系统变成了在蹦床上扔铅球。
6. 现在我们手持铅球放到橡胶桌子的上方，使其接触但不受力。这时放手，我们分析一下接下来的情况。放手的一瞬间，铅球只受重力，铅球向下做加速运动，向下产生位移，挤压橡胶使其发生形变，形变产生弹力，在铅球下降的过程中，弹力越来越大，终于有一个位置，橡胶变形形成弹力正好等于铅球重力，我们姑且称这个位置为平衡点。这时候铅球受力平衡，加速度为0，但刚才积累的速度还在，铅球继续向下坠，这个位置弹力已经大于重力了，铅球在减速，终有一刻减速至0，此时铅球达到最低点，开始向上加速，路过平衡点时，加速度为0，但是向上的速度还在，于是继续向上，此时重力又反超弹力，铅球减速向上，到放手的位置恰好速度减为0，回到放手时一样的状态……如果不考虑能力损耗，这个系统会一直这样运动下去；但是现实中一定有能量损耗，橡胶的拉伸回弹会把很多能量转化成热能，于是表现为铅球路过平衡点时的速度越来越小，最终在平衡点停下来，这个运动称为阻尼运动。
如果把上述过程简化为在光滑水平平面由弹簧牵引，就变成了简谐运动。可见其实现实中很多振动场景都是简谐运动的复杂版。
回到最开始的问题，把手机放到桌子上，其实和把铅球放到橡胶上一样，都是有一个平衡过程的。只是由于桌子“很硬”，微小的形变即可产生较大的弹力；同时放手机的过程较为平稳，而不是高空坠物。这两个原因导致我们无法观察到这个平衡过程，看起来就像是一瞬间就平衡了。
7. 浮力公式的原理与推导过程
先给结论：浮力公式的原理来自于流体性质。物理教科书上的推论过程一般是先实验，总结数据，总结规律。然后利用规则物品（比如长方体）建模，利用上下表面压强差， 推出浮力公式，然后用一句话说明其实浮力公式具有一般性，不规则物品也可以适用。这种推论方法其实没有说明为什么浮力公式具有一般性，我们现在尝试以高中物理/数学知识，进行一次较为严谨的推论，帮助自己理解浮力公式究竟是如何推出的。
a. 首先，该系统的确受大气压力影响。因为其实任何有体积的物品都收到大气的浮力，这正好与我们现在讨论的液体浮力属于同一个模型。在我们这里的论证过程中，为了简化讨论模型，只考虑液体系统提供的浮力。在实际问题中，如果想要更准确的衡量客观事实，可以考虑空气浮力，不过即使考虑空气浮力，也可以把空气最为一套独立的系统去讨论。综上，下文讨论中，将不再提及大气压力。
b. 尝试理解：液体内任意一点所受压力均为所有方向，将他们分解到同一平面后压力等大反向。
我们在连通器液体内部内任意取一点，在此假想一个有面积无厚度的假想圆片。我们知道如果小圆片受力不平衡，则小圆片位置的液体必然发生流动，产生位移；那么进行一下简单的逻辑变换，连通器内液体位置稳定，则说明小圆片应该受力平衡。
小圆片可以任意旋转，均维持受力平衡，可证每个方向都存在压力，将这些压力分解到同一平面后，这些压力等大反向。（边界情况是小圆片恰好处于水面的位置，压力为0，按矢量的定义其实也可以算作等大反向，这个边界情况我们可以稍后特殊考虑。）
c. 证明：连通器内的液体中，同等水平高度液体压强相等。
这里使用的方法就是平时经常见到的虚拟液柱的方法。我们在液体内部人为的圈出一个封闭的柱型封闭空间，分析这个柱型液体的受力情况。由于液柱运动状态稳定，可推论液柱在各方向均受力平衡，特殊地，在垂直方向也一定受力平衡。那么上表面压力+重力＝下表面压力。得到方程式：
p上s+ρshg＝p下s
化简得：
p下-p上＝ρgh
当液柱上表面恰好为水面时，由之前的结论知道，这里不收水压力。这时h恰好为下表面深度。
d. 现在来到了这次证明的核心步骤。我们要证明浮力公式的一般适用性。
现有一块不规则形状物体，置于水中。这里是否需要区分是漂浮状态还是沉没状态呢？不需要，因为如果是漂浮状态，水面以上的部分是不受水的压力的，所以漂浮和沉没两者是一样的。
我们知道浮力本质上是液体对物品的压力差，要推导浮力，本质上就是推导压力。我们使用微元法去理解这个模型：把这个物体沿垂直方向进行切割，变换刀的方向，把物体切成一个个垂直插在水中的“吸管”。我们用这些吸管近似代替原物体。针对某一个吸管，他受到的浮力F＝ρgh底s-ρgh顶s＝ρgv，其中v为吸管在水中的体积。
由吸管组成的这个吸管集合和单一吸管的关系，是简单的整体与部分的关系，所以吸管整体的浮力就是ρgv，其中v为吸管集合在水中体积。
还省下最后一点问题，吸管集合只是近似于原物体，毕竟还不完全相等，证明至此还差最关键的一步转换。还记得我一开始是怎么介绍这个模型的么？微元法。我们把分的不够细致的吸管再次细分，细分之后的吸管再次细分，分之又分，最后得到的吸管集合就无限接近于原物体了，吸管集合的体积无限接近于原物体，吸管集合所受浮力也无限接近于原物体。这两个无限接近方向是统一的，于是我们终于得证，物体所受浮力等于ρgv，其中v为物体在水中的体积。
（原物体图，粗分割图，细分割图）
我们把上述过程中，分到最后的吸管截面积称为无穷小量，微元法的过程称为向无穷小量取极限，这就构成了现代高等数学的基础之一，积分。微积分的诞生，最早就是为了解决物理问题。（传闻牛顿当时的物理研究计算十分繁琐，于是他在物理研究的同时发明了微积分这个新数学工具，并用了一段时间将其完善。真是天才，强无敌。）
反思上面的思维模型，我们得到了一个概念：体积是高在面积维度上的积分，压力是压强在面积维度上的积分。这两组物理量在浮力中产生了关联，展现了物理学（或者说大自然）的协调美感。关于微元法、微积分，后面会有专题来讲解，欢迎大家阅读。
8. 浮力公式与本节课第一小节概念的关系
本节课中我们两次提到了浮力，第一次用类比说明了浮力的本质是弹力，第二次用积分证明了浮力公式。这两者之间有什么关系呢？我们理一理其中的逻辑关系：桌子形变之后产生的弹力，来源于固体想要抗拒形变的性质，力的大小由固体本身的弹力性质和形变量决定，但是这两个量不容易测量，所以我们往往使用物体静止反推其受力平衡，用重力求得支持力，即弹力。水形变之后产生的弹力，来源于液体收重力影响产生的水压力差，力的大小由液体密度/重力加速度/物体浸入液体的体积决定，这些量都是容易测量的，所以我们可以直接求得浮力（弹力）大小，如果知道物体密度，还可以预测物体进入水中后的最终状态。
