5.20特辑：心脏线

2022-09-27 23:39 作者:我恨PDN定理 0人读过 | 我要投稿

（本篇为作者在5.20所作的特辑）

一、定义
心脏线，也称心形线，是外摆线的一种，亦为蚶线的一种，是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名。
二、轨迹方程
由心脏线定义，不难得到下面这张图：

图中 $O_1$ 、 $O_2$ 为两个半径相等的相切的圆的圆心，不妨令 $P_1$ 为极点，且初始时 $P_2$ 与 $P_1$ 对应，那么不难得到， $P_1$ $P_2$ // $O_1$ $O_2$ ，此时对应的 $%5Crho%20$ 与 $%5Ctheta%20$ 不难求出关系，在这种情况下的通式为： $%5Crho%20%3Da%5Ccdot(1%2Bcos%5C%3B%5Ctheta%20)$ ，于是完成了对心脏线轨迹方程的推导
三、心脏线的面积与周长
在这里以 $%5Crho%20%3Da%5Ccdot(1%2Bcos%5C%2C%5Ctheta%20)$ 为例，因为其图像关于极轴对称，故在取范围时只取 $%5B0%5C%2C%2C%5C%2C%5Cpi%20%5D$ ，过程如下：

$dA%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%5Crho%20%5E2(%5Ctheta)%5C%2Cd%5Ctheta$

$A%3D%5Cint%7BdA%7D%3D%5Cint%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%5Crho%20%5E2(%5Ctheta)%5C%3Bd%5Ctheta%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%7D%7B2%7D%5Cint_0%5E%5Cpi%7B(1%2Bcos%5Ctheta)%5E2%7D%5C%2Cd%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B3a%5E2%7D%7B4%7D%5Cpi$

$A'%3D2A%3D%5Cfrac%7B3a%5E2%7D%7B2%7D%5Cpi$

$%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax%3D%5Crho%5C%2C(%5Ctheta)%5Ccdot%20cos%5Ctheta%20%5C%5C%0Ay%3D%5Crho%5C%2C(%5Ctheta)%5Ccdot%20sin%5Ctheta%20%20%5C%5C%0A%5Cend%7Bcases%7D$

$ds%3D%5Csqrt%7B%5Crho%20%5E2(%5Ctheta)%2B%5Crho%7B'%7D%5E2(%5Ctheta)%7D%5Ccdot%20d%5Ctheta$

$s%3D%5Cint%7Bds%7D%3D%5Cint%7B%5Csqrt%7B%5Crho%20%5E2(%5Ctheta)%2B%5Crho%7B'%7D%5E2(%5Ctheta)%7D%5Ccdot%20d%5Ctheta%7D%3D%5Csqrt%7B2%7Da%5Ccdot%5Cint_0%5E%5Cpi%7B%5Csqrt%7B1%2Bcos%5Ctheta%7D%7D%5C%3Bd%5Ctheta%3D4a$