[翻译]锥线几何(Geometry of Conics)第一章：二次曲线的诸基本性质1.7(II)

2023-08-27 15:20 作者:瀰㴉夃 0人读过 | 我要投稿

本文译自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans. Alex Martsinkovsky, Geometry of Conics, American Mathematical Society, 2007.
翻译：野吕侯奈因
仅供学习交流使用
译者按：
本书在几何爱好者之间小有人气，但目前网上只能找到一些零散的翻译．鉴于目前通行的数学教学中对于二次曲线问题的处理方式过于单一，希望能借翻译本书的机会来推广一下二次曲线的射影几何视角．

接下来的定理实际上可以理解为定理1.9的结论．但我们会用到西姆松线(Simson's line)来证明它，而这则可以引出抛物线更有趣的结论．

定理1.10. 若 $%5Ctriangle%20ABC$ 外接于一抛物线（即直线 $AB%E3%80%81BC%E3%80%81CA$ 都与抛物线相切），则有抛物线的焦点落在 $%5Ctriangle%20ABC$ 的外接圆上．

证明. 由引理1.1的推论，焦点在每一边上的投影都会落在一条直线上（即该抛物线在其顶点处的切线）．而接下来我们将用到西姆松引理(Simson's lemma)．

引理1.3（西姆松）. $P$ 在 $%5Ctriangle%20ABC$ 上的投影共线当且仅当 $P$ 在 $%5Ctriangle%20ABC$ 的外接圆上时成立．

证明. 设 $P_a%E3%80%81P_b$ 和 $P_c$ 分别是 $P$ 在 $BC%E3%80%81CA$ 和 $AB$ 上的投影．我们在此只考虑图1.31中的形式，不过其余情况的证法也类似．

由 $P%E3%80%81C%E3%80%81P_b%E3%80%81P_a$ 四点共圆，有 $%5Cangle%20PP_bP_a%3D%5Cangle%20PCP_a$ ．同理，有 $%5Cangle%20PP_bP_c%3DPAP_c$ ．而 $P_a%E3%80%81P_b%E3%80%81P_c$ 三点共线当且仅当 $%5Cangle%20PP_bP_c%3D%5Cangle%20PP_bP_a$ 时成立，也就是当 $%5Cangle%20PAP_c%3D%5Cangle%20PCP_a$ 时，而这意味着 $P$ 会落在 $%5Ctriangle%20ABC$ 的外接圆上，其余情况也同理．

其逆命题的证明也别无二致．若 $P$ 落在 $%5Ctriangle%20ABC$ 的外接圆上，则会有 $%5Cangle%20PAB%3D%5Cangle%20PCP_a%3D%5Cangle%20PP_bP_a$ （第二个等号是因为 $P%E3%80%81C%E3%80%81P_b%E3%80%81P_a$ 四点共圆）．同理， $%5Cangle%20PAB%3D%5Cangle%20PP_bP_c$ ．故有 $P_a%E3%80%81P_b%E3%80%81P_c$ 三点共线． $%5Csquare$

于是也就证明了定理1.10． $%5Csquare$

该线通常被叫做点 $P$ 的西姆松线．

因此对于 $%5Ctriangle%20ABC$ 的外接圆上任意一点，都能确定出一条唯一的抛物线与三边都相切．更准确地说，在 $%5Ctriangle%20ABC$ 外接圆上取任意一点 $P$ 并作出其关于三边的对称点，分别设其为 $P_A%E3%80%81P_B$ 和 $P_C$ ，就会有它们三点共线．而以 $P$ 为焦点， $P_AP_B$ 为准线确定的抛物线会与 $%5Ctriangle%20ABC$ 的每一边相切（以下图为例，抛物线会与 $BC$ 切于 $BC$ 于以 $P_A$ 为垂足的 $P_AP_C$ 的垂线的交点上；见图1.32）．

（译者注：其中三个对称点共线是由其两两确定的任一直线都与西姆松线关于 $P$ 的位似比相同．）

西姆松线还有着更多有趣的性质．

引理1.4. 若点 $P$ 落在 $%5Ctriangle%20ABC$ 的外接圆上，在外接圆上再取一点 $B'$ 使得直线 $PB'$ 垂直于直线 $AC$ ．则有 $BB'$ 平行于 $P$ 的西姆松线（图1.33）．

证明. 在此只考虑图1.33中的情形，其余情形证法类似．设 $P_c$ 和 $P_b$ 分别为 $P$ 在 $AB$ 和 $AC$ 上的投影．由同弧所对圆周角相等有 $%5Cangle%20ABB'%3D%5Cangle%20APB'$ ．而又由 $A%E3%80%81P_c%E3%80%81P_b%E3%80%81P$ 四点共圆（其中 $AP$ 为该圆直径）及圆的内接四边形对角互补有 $%5Cangle%20APB'%3D%5Cangle%20APP_b%3D%5Cangle%20180%5E%5Ccirc-%5Cangle%20AP_cP_b%3D%5Cangle%20BP_cP_b$ ．故可得 $P_bP_c$ 平行于 $BB'$ ． $%5Csquare$

推论1. 当 $P$ 在圆上运动时，西姆松线会以 $%5Csmallsmile%20PA$ 变化率一半为速度向相反方向旋转．

（译者注：沿用图1.33中的记号，注意到 $%5Csmallsmile%20AB'$ 与 $%5Csmallsmile%20AP$ 的变化率相同而方向相反，再结合同弧所对圆周角等于其所对圆心角的一半，该推论就是显然的结果了．）

推论2. $P$ 关于 $%5Ctriangle%20ABC$ 的西姆松线平分线段 $PH$ （其中 $H$ 为 $%5Ctriangle%20ABC$ 的垂心）．（图1.34）

证明. 不难发现 $%5Cangle%20AHC%3D180%5E%5Ccirc%20-%5Cangle%20ABC$ ，故有 $H$ 关于 $AC$ 的对称点 $H'$ 落在 $%5Ctriangle%20ABC$ 的外接圆上．由于 $PB'$ 和 $BH'$ 都垂直于 $AC$ ，四边形 $PB'BH'$ 也就是一个梯形；又由其内接与一圆，故其也必为等腰梯形．因此与 $PH'$ 关于 $AC$ （显然其平行于该梯形的一条对称轴）对称的 $P'H$ 平行于 $BB'$ （其中 $P'$ 为 $P$ 关于 $AC$ 的对称点），也就平行于西姆松线．而由 $P_b$ （ $P$ 在 $AC$ 上的投影）为 $PP'$ 的中点有西姆松线为 $%5Ctriangle%20HPP'$ 的中位线，也就平分了 $HP$ ． $%5Csquare$